Что такое вектор? Как определить его длину и координаты? Что такое сложение и умножение векторов? У нас есть

Skvoz_Holmy

66

Вектор - это математический объект, который описывает направление и величину физической величины. Векторы могут быть представлены в виде упорядоченных наборов чисел, называемых координатами. Для определения длины и координат вектора, можно использовать такие понятия, как модуль и компоненты вектора.

Длина вектора, также известная как его модуль, обозначается символом \(|\vec{a}|\) и вычисляется с использованием формулы длины вектора в трехмерном пространстве:
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\]
где \(a_x, a_y, a_z\) - координаты вектора \(\vec{a}\) по осям x, y и z соответственно.

Чтобы найти координаты вектора, можно использовать его начальную и конечную точки в пространстве. Координаты вектора определяют разность между координатами конечной точки и начальной точки вектора.

Сложение векторов производится путем сложения соответствующих координат векторов. Для сложения векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) с координатами \((a_x, a_y, a_z)\) и \((b_x, b_y, b_z)\) соответственно, результатом будет новый вектор \(\vec{c}\) с координатами \((c_x, c_y, c_z)\), где:
\[c_x = a_x + b_x\]
\[c_y = a_y + b_y\]
\[c_z = a_z + b_z\]

Умножение векторов может быть выполнено двумя способами: скалярным произведением и векторным произведением. Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) обозначается как \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) и рассчитывается по формуле:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z\]
Результатом скалярного произведения является число (скаляр).

Векторное произведение двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) обозначается как \(\vec{a} \times \vec{b}\) и рассчитывается по формуле:
\[\vec{a} \times \vec{b} = (a_y \cdot b_z - a_z \cdot b_y, a_z \cdot b_x - a_x \cdot b_z, a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x)\]
Результатом векторного произведения является новый вектор.

Теперь применим эти знания к задаче. У нас есть два вектора: \(\vec{a}=(1, 5, 3)\) и \(\vec{b}=(4, 2, 7)\).
Чтобы найти их сумму \(\vec{c}\), мы сложим соответствующие координаты:
\[\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (1+4, 5+2, 3+7) = (5, 7, 10)\]

Таким образом, сумма векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равна \(\vec{c}=(5, 7, 10)\).