Шкив с диаметром d = 400 мм совершил первые 10 с постоянное вращение со скоростью ω 0 = 8 рад / с. Затем он стал

Kosmicheskaya_Panda

52

Конечно, давайте решим данную задачу.

а) Для начала определим количество оборотов шкива за все время вращения.

Первоначально шкив вращался со скоростью \( \omega_0 = 8 \: \text{рад/с} \), а затем достиг скорости \( \omega_1 = 14 \: \text{рад/с} \).

Используем формулу для связи угловой скорости с линейной скоростью: \( v = r \cdot \omega \), где \( v \) - линейная скорость, \( r \) - радиус, \( \omega \) - угловая скорость.

Так как линейная скорость точек на ободе шкива одинакова, то можно записать: \( r_0 \cdot \omega_0 = r_1 \cdot \omega_1 \), где \( r_0 \) и \( r_1 \) - радиусы шкива для первоначальной и конечной угловых скоростей соответственно.

Так как диаметр шкива \( d = 400 \: \text{мм} = 0.4 \: \text{м} \), то радиус шкива \( r = \frac{d}{2} = 0.2 \: \text{м} \).

Для первоначальной скорости: \( 0.2 \cdot 8 = 0.2 \cdot \omega_1 \), \( \omega_1 = \frac{0.2 \cdot 8}{0.2} = 8 \: \text{рад/с} \).

Таким образом, шкив совершил \( \Delta \omega = \omega_1 - \omega_0 = 14 - 8 = 6 \: \text{рад/с} \) ускоренное вращение за время \( \Delta t = 12 \: \text{с} \).

Теперь найдем количество оборотов за всё время.

Для этого воспользуемся формулой: \( \Delta \phi = \omega_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \Delta \omega \cdot t^2 \).

Подставим значения: \( \Delta \phi = 8 \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12^2 = 80 + 432 = 512 \) рад.

Теперь найдём среднюю угловую скорость за все время вращения: \( \overline{\omega} = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{512}{22} \approx 23.27 \: \text{рад/с} \).

б) Теперь определим окружные скорости точек на ободе шкива через первые 10 секунд и через 12 секунд.

Для первых 10 секунд \( v_0 = r \cdot \omega_0 = 0.2 \cdot 8 = 1.6 \: \text{м/c} \).

Для последующих 12 секунд \( v_1 = r \cdot \omega_1 = 0.2 \cdot 14 = 2.8 \: \text{м/c} \).

Таким образом, окружные скорости точек на ободе шкива через первые 10 секунд и через 12 секунд составляют соответственно 1.6 м/c и 2.8 м/c.