Скільки деталей майстер виготовив сам, а скільки учень, якщо майстер виготовляє одну деталь за 5 хв, а учень - за

Татьяна

21

Давайте решим данную задачу вместе.

Пусть количество деталей, которые мастер изготовил сам, будет обозначено через \(x\), а количество деталей, которые изготовил ученик, обозначено через \(y\).

Из условия задачи мы знаем, что мастер изготавливает одну деталь за 5 минут, а ученик - за 9 минут. Заметим, что за единицу времени, мастер и ученик вместе изготавливают \(\frac{1}{5} + \frac{1}{9}\) деталей.

Мы можем записать это равенство в виде уравнения:

\(\frac{1}{5}x + \frac{1}{9}y = \frac{42}{5}\).

Мы также знаем, что мастер и ученик вместе изготовили 42 детали. Это можно записать в виде второго уравнения:

\(x + y = 42\).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{5}x + \frac{1}{9}y = \frac{42}{5}, \\
x + y = 42.
\end{cases}
\]

Мы можем решить эту систему с помощью метода подстановки или метода исключения. Давайте воспользуемся методом исключения.

Умножим оба уравнения системы на 45, чтобы избавиться от знаменателей:

\[
\begin{cases}
9x + 5y = 42 \cdot 9, \\
45x + 45y = 42 \cdot 45.
\end{cases}
\]

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

\[
45x + 45y - (9x + 5y) = 42 \cdot 45 - 42 \cdot 9.
\]

Упростим:

\[
36x + 40y = 3 \cdot 42 \cdot (15 - 1).
\]

\[
36x + 40y = 3 \cdot 42 \cdot 14.
\]

\[
9x + 10y = 3 \cdot 14 \cdot 42.
\]

Теперь разделим оба уравнения на 3:

\[
\begin{cases}
9x + 10y = 14 \cdot 42, \\
x + y = 14.
\end{cases}
\]

Сделаем так, чтобы коэффициент при x был одинаковым в обоих уравнениях, домножив первое уравнение на 9:

\[
\begin{cases}
81x + 90y = 9 \cdot 14 \cdot 42, \\
x + y = 14.
\end{cases}
\]

Теперь вычтем из первого уравнения второе:

\[
81x + 90y - (x + y) = 9 \cdot 14 \cdot 42 - 14.
\]

Упростим:

\[
80x + 89y = 9 \cdot 14 \cdot 42 - 14.
\]

\[
80x + 89y = 9 \cdot 14 \cdot 42 - 14.
\]

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

\[
\begin{cases}
80x + 89y = 9 \cdot 14 \cdot 42 - 14, \\
x + y = 14.
\end{cases}
\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.