Скільки деталей майстер виготовив сам, а скільки учень, якщо майстер виготовляє одну деталь за 5 хв, а учень - за

Татьяна

21

Давайте решим данную задачу вместе.

Пусть количество деталей, которые мастер изготовил сам, будет обозначено через $x$, а количество деталей, которые изготовил ученик, обозначено через $y$.

Из условия задачи мы знаем, что мастер изготавливает одну деталь за 5 минут, а ученик - за 9 минут. Заметим, что за единицу времени, мастер и ученик вместе изготавливают $\frac{1}{5}+\frac{1}{9}$ деталей.

Мы можем записать это равенство в виде уравнения:

$\frac{1}{5}x+\frac{1}{9}y=\frac{42}{5}$.

Мы также знаем, что мастер и ученик вместе изготовили 42 детали. Это можно записать в виде второго уравнения:

$x+y=42$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{5}x+\frac{1}{9}y=\frac{42}{5},\\ x+y=42.\end{array}$$

Мы можем решить эту систему с помощью метода подстановки или метода исключения. Давайте воспользуемся методом исключения.

Умножим оба уравнения системы на 45, чтобы избавиться от знаменателей:

$$\{\begin{array}{l}9x+5y=42\cdot 9,\\ 45x+45y=42\cdot 45.\end{array}$$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$$45x+45y-(9x+5y)=42\cdot 45-42\cdot 9.$$

Упростим:

$$36x+40y=3\cdot 42\cdot (15-1).$$

$$36x+40y=3\cdot 42\cdot 14.$$

$$9x+10y=3\cdot 14\cdot 42.$$

Теперь разделим оба уравнения на 3:

$$\{\begin{array}{l}9x+10y=14\cdot 42,\\ x+y=14.\end{array}$$

Сделаем так, чтобы коэффициент при x был одинаковым в обоих уравнениях, домножив первое уравнение на 9:

$$\{\begin{array}{l}81x+90y=9\cdot 14\cdot 42,\\ x+y=14.\end{array}$$

Теперь вычтем из первого уравнения второе:

$$81x+90y-(x+y)=9\cdot 14\cdot 42-14.$$

Упростим:

$$80x+89y=9\cdot 14\cdot 42-14.$$

$$80x+89y=9\cdot 14\cdot 42-14.$$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

$$\{\begin{array}{l}80x+89y=9\cdot 14\cdot 42-14,\\ x+y=14.\end{array}$$

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.