Какова длина диагонали параллелепипеда, если меньшая сторона основания равна 15 м, высота параллелепипеда равна 20

Skvoz_Ogon_I_Vodu

23

Для решения этой задачи нам понадобится треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, меньшей стороной основания и углом между ними. Давайте обозначим сторону основания буквой a, высоту параллелепипеда - буквой h, и диагональ - буквой D.

Так как угол между диагональю и меньшей боковой гранью составляет 30°, то мы можем разделить этот треугольник на два частных треугольника. Один из них будет равнобедренным треугольником, так как диагональ является высотой этого треугольника и перпендикулярна меньшей стороне основания.

Давайте найдем длину этой диагонали используя тригонометрические соотношения. Разделим равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника. Пусть сторона основания равна a, тогда другие две стороны треугольника будут равняться \(\frac{a}{2}\) и h. Таким образом, по теореме Пифагора, мы можем записать следующее соотношение:

\(\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = D^2\) (1)

Также, мы можем использовать определение тангенса угла, чтобы записать следующее соотношение:

\(\tan(30°) = \frac{h}{\frac{a}{2}}\) (2)

Решим уравнение (2) относительно h:

\(\frac{h}{\frac{a}{2}} = \tan(30°)\)

\(h = \frac{a}{2} \cdot \tan(30°)\)

Теперь заменим h в уравнении (1) и решим полученное квадратное уравнение:

\(\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2} \cdot \tan(30°)\right)^2 = D^2\)

\(\frac{a^2}{4} + \left(\frac{a^2 \cdot \tan^2(30°)}{4}\right) = D^2\)

\(\frac{a^2 + a^2 \cdot \tan^2(30°)}{4} = D^2\)

\(\frac{a^2(1 + \tan^2(30°))}{4} = D^2\)

Теперь, подставим значение угла 30° и упростим полученное выражение:

\(\frac{a^2(1 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2)}{4} = D^2\)

\(\frac{a^2(1 + \frac{1}{3})}{4} = D^2\)

\(\frac{a^2(\frac{4}{3})}{4} = D^2\)

\(\frac{a^2}{3} = D^2\)

Теперь найдем значение D, извлекая корень из обеих сторон уравнения:

\(D = \sqrt{\frac{a^2}{3}}\)

Подставим значение a = 15 м:

\(D = \sqrt{\frac{15^2}{3}}\)

\(D = \sqrt{\frac{225}{3}}\)

\(D = \sqrt{75}\)

\(D = 5\sqrt{3}\) м

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда равна \(5\sqrt{3}\) метров.