Скільки теплоти потрібно виділити одному молю ідеального газу при температурі 27°С і закритих умовах, щоб підвищити

Сокол

50

Для решения этой задачи нам потребуется уравнение состояния идеального газа:

\[PV = nRT\],

где P - давление газа, V - его объем, n - количество вещества газа (в молях), R - универсальная газовая постоянная, а T - абсолютная температура в Кельвинах.

В данной задаче нам известны начальная температура газа (\(T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300K\)) и начальный давление (\(P_1\)), а также отношение давлений (\(P_2/P_1 = 3\)), которое мы хотим найти.

Для начала нам нужно найти отношение объемов газа (\(V_2/V_1\)). Поскольку у нас идеальный газ, то объем газа будет пропорционален количеству вещества газа (n) и температуре (T). Поэтому:

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{n_2T_2}{n_1T_1}\],

где индекс 1 обозначает начальные условия, а индекс 2 - конечные условия. Количество вещества газа не меняется, поэтому \(\frac{n_2}{n_1} = 1\).

Теперь можем записать уравнение для отношения давлений:

\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{V_1}{V_2}\].

Мы хотим найти \(\frac{P_2}{P_1}\), поэтому поменяем местами левую и правую части уравнения:

\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{P_1}{P_2}\].

Также, используя уравнение состояния идеального газа, можем выразить объем через давление:

\[V = \frac{{nRT}}{P}\].

Теперь можем подставить это выражение в уравнение для отношения объемов:

\[\frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{{nRT_1}}{P_1}}{\frac{{nRT_2}}{P_2}}\].

Сократим n и R:

\[\frac{P_1}{P_2} = \frac{{T_1P_2}}{{T_2P_1}}\].

Теперь можем подставить известные значения: \(T_1 = 300K\), \(P_2/P_1 = 3\) и решить уравнение:

\[\frac{1}{3} = \frac{{300 \cdot P_2}}{{T_2 \cdot P_1}}\].

Теперь можем найти \(T_2\):

\[T_2 = \frac{{300 \cdot P_1}}{{3 \cdot P_2}}\].

Разогревая газ от начальной температуры 27°C (300K) втричи, мы получим конечную температуру газа \(T_2\).

Теперь, чтобы найти количество выделившейся теплоты, мы можем использовать первый закон термодинамики:

\[Q = \Delta U - W\],

где \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии системы, а W - работа, выполненная над системой.

При изохорическом (постоянном объеме) процессе работа W будет равна нулю, поэтому:

\[Q = \Delta U\].

Изменение внутренней энергии газа можно выразить следующим образом:

\[\Delta U = nC_v\Delta T\],

где Cv - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, а \(\Delta T\) - изменение температуры.

Нам нужно разогреть газ от начальной температуры \(T_1\) до конечной температуры \(T_2\), поэтому:

\[\Delta T = T_2 - T_1\].

Теперь можем подставить это выражение в формулу для изменения внутренней энергии:

\[\Delta U = nC_v(T_2 - T_1)\].

Тепло, выделившееся в систему, будет равно \(-Q\) (знак минус, потому что система передает тепло окружающей среде). То есть:

\[Q = -\Delta U\].

Теперь мы можем найти требуемое количество теплоты, подставив известные значения:

\[Q = -nC_v(T_2 - T_1)\].

В данном случае нам известна начальная температура \(T_1\), конечная температура \(T_2\) и количество вещества \(n\) (равное 1 молю газа). Остается найти молярную теплоемкость газа при постоянном объеме (\(C_v\)).

К сожалению, без указания газа или каких-либо дополнительных данных о нем, мы не можем найти точное значение молярной теплоемкости. Если у вас есть дополнительные данные, пожалуйста, предоставьте их, и мы сможем продолжить решение задачи.