Скількома нулями закінчується добуток усіх натуральних чисел від 24 до 43 включно? Будь ласка, надайте роз’яснення

Кедр

3

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти количество нулей в конце произведения всех натуральных чисел от 24 до 43 включительно. Давайте разобьем это на несколько шагов для более полного понимания.

Шаг 1: Найдем факториал каждого числа от 24 до 43.

Факториал числа обозначается символом "!" и является произведением всех натуральных чисел от 1 до этого числа.

24! = 24 * 23 * 22 * ... * 3 * 2 * 1
25! = 25 * 24 * 23 * ... * 3 * 2 * 1
...
43! = 43 * 42 * 41 * ... * 3 * 2 * 1

Шаг 2: Раскроем каждый факториал до простых множителей.

Чтобы найти количество нулей в конце произведения, нам нужно знать, сколько "10" входит в это произведение. А "10" можно получить путем умножения 2 на 5. Поскольку каждое четное число делится на 2, нам нужно найти, сколько раз число 5 входит в это произведение.

24! = (2^22) * (3^10) * (5^4) * (7^3) * (11^2) * (13^2) * ... * (23^1)
25! = (2^22) * (3^10) * (5^6) * (7^3) * (11^2) * (13^2) * ... * (23^1)
...
43! = (2^41) * (3^18) * (5^8) * (7^6) * (11^3) * (13^3) * ... * (43^1)

Шаг 3: Найдем сколько раз число 5 входит в каждую степень числа 5 в факториалах.

24! = (2^22) * (3^10) * (5^4) * (7^3) * (11^2) * (13^2) * ... * (23^1)
25! = (2^22) * (3^10) * (5^6) * (7^3) * (11^2) * (13^2) * ... * (23^1)
...
43! = (2^41) * (3^18) * (5^8) * (7^6) * (11^3) * (13^3) * ... * (43^1)

Поскольку в каждом факториале число 5 возведено в определенную степень, мы должны просуммировать эти степени, чтобы найти общее количество нулей в конце произведения.

Шаг 4: Сложим степени числа 5 из каждого факториала.

4 + 6 + 8 + ... + S,

где S - это сумма всех степеней числа 5. Чтобы найти это значение, мы можем использовать формулу для суммы геометрической прогрессии:

S = (n/2) * (a + l),

где n - количество членов прогрессии (в нашем случае, количество факториалов), a - первый член прогрессии (в нашем случае, степень числа 5 в 5!), l - последний член прогрессии (в нашем случае, степень числа 5 в 43!).

Теперь у нас есть все данные, чтобы решить эту задачу. Подставим значения и вычислим сумму:

n = 43 - 24 + 1 = 20,
a = 4,
l = 8.

S = (20/2) * (4 + 8) = 10 * 12 = 120.

Таким образом, произведение всех натуральных чисел от 24 до 43 включительно заканчивается 120 нулями в конце.