Сколько белых и черных шаров находится в урне, если из нее были вынуты 2 и 3 шара? Что представляет собой случайная

Roman_7236

46

Для решения данной задачи потребуется знание комбинаторики и вероятности. Давайте разберем ее пошагово.

1. Подсчет возможных комбинаций шаров в урне:
Предположим, в урне находится \(n\) белых и \(m\) черных шаров. Общее количество шаров в урне равно сумме белых и черных, то есть \(n + m\).

2. Выбор двух шаров:
Для определения количества комбинаций извлечения двух шаров из урны, мы будем использовать биномиальный коэффициент \(C(n+m,2)\).

3. Выбор трех шаров:
Аналогично, для определения количества комбинаций извлечения трех шаров мы будем использовать биномиальный коэффициент \(C(n+m,3)\).

4. Случайная величина Х:
Случайная величина Х представляет собой количество белых шаров, которое будет выбрано из урны.

5. Закон распределения:
Для определения закона распределения случайной величины Х, мы рассмотрим все возможные значения этой случайной величины и вероятность их появления.

Возможные значения случайной величины Х могут быть любыми целыми числами от 0 до меньшего из двух значений: \(n\) и 2 (при выборе двух шаров) или 3 (при выборе трех шаров).

Вероятность появления каждого значения случайной величины Х можно рассчитать, используя комбинаторную формулу. Вероятность выбора \(k\) белых шаров из урны в данном случае будет равна:

\[P(X=k) = \frac{{C(n, k) \cdot C(m, 2-k)}}{{C(n+m, 2)}}\]

где \(C(n, k)\) - биномиальный коэффициент, определяющий количество комбинаций выбора \(k\) белых шаров из \(n\) белых шаров в урне, а \(C(m, 2-k)\) - количество комбинаций выбора \(2-k\) черных шаров из \(m\) черных шаров в урне.

6. Математическое ожидание:
Математическое ожидание - это среднее значение случайной величины. В данном случае оно будет равно:

\[E(X) = \sum_{k=0}^{\min(n, 2)} k \cdot P(X=k)\]

где \(\sum_{k=0}^{\min(n, 2)}\) обозначает сумму всех значений случайной величины Х от 0 до меньшего из \(n\) и 2.

7. Дисперсия:
Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины. В данном случае она будет равна:

\[Var(X) = \sum_{k=0}^{\min(n, 2)} (k - E(X))^2 \cdot P(X=k)\]

где \(E(X)\) - математическое ожидание случайной величины Х, а \(\sum_{k=0}^{\min(n, 2)}\) обозначает сумму всех значений случайной величины Х от 0 до меньшего из \(n\) и 2.

8. Среднеквадратическое отклонение:
Среднеквадратическое отклонение - это корень квадратный от дисперсии. В данном случае оно будет равно:

\[SD(X) = \sqrt{Var(X)}\]

Теперь у нас есть все нужные формулы. Если вы предоставите значения \(n\) и \(m\), я смогу рассчитать количество белых и черных шаров в урне, а также закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для случайной величины Х.