Сколько билетов нужно купить, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что хотя бы один будет выигрышным?
Сколько билетов нужно купить, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что хотя бы один будет выигрышным?
Виталий 29
Чтобы расcчитать, сколько билетов нужно купить, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что хотя бы один будет выигрышным, нам понадобится знание общей вероятности исключающих событий.Для решения этой задачи можно воспользоваться понятием противоположного события. Противоположным событием к тому, что хотя бы один билет выигрышный, будет событие, при котором все билеты окажутся не выигрышными.
Пусть p - вероятность того, что один билет выигрышный, а (1 - p) - вероятность того, что билет не выигрышный. Тогда вероятность того, что все n билетов окажутся не выигрышными можно получить, перемножив вероятности того, что каждый из этих n билетов не выигрышный:
Теперь, используя противоположное событие, мы можем определить вероятность того, что хотя бы один билет будет выигрышным:
Итак, нам нужно найти такое минимальное число n, при котором вероятность хотя бы одного выигрышного билета будет не менее 0,9, то есть:
Мы знаем, что вероятность выигрыша для каждого билета p фиксирована. Возьмем, например, p = 0,01, что соответствует вероятности 1% выигрыша при каждой попытке. Подставим это значение в неравенство и решим его относительно n:
Выражение
Решим это неравенство численно. Возьмем значения n от 1 и будем их увеличивать, подставляя в неравенство и проверяя его выполнение:
...
Продолжаем этот процесс, пока не найдется такое минимальное число n, при котором неравенство будет выполнено. В данном примере мы должны продолжить, пока не достигнем значения n=69:
Таким образом, чтобы быть уверенным с вероятностью не менее 0,9 в наличии хотя бы одного выигрышного билета, нужно купить 69 билетов.