Сколько билетов нужно купить, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что хотя бы один будет выигрышным?

Виталий

29

Чтобы расcчитать, сколько билетов нужно купить, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что хотя бы один будет выигрышным, нам понадобится знание общей вероятности исключающих событий.

Для решения этой задачи можно воспользоваться понятием противоположного события. Противоположным событием к тому, что хотя бы один билет выигрышный, будет событие, при котором все билеты окажутся не выигрышными.

Пусть p - вероятность того, что один билет выигрышный, а (1 - p) - вероятность того, что билет не выигрышный. Тогда вероятность того, что все n билетов окажутся не выигрышными можно получить, перемножив вероятности того, что каждый из этих n билетов не выигрышный:

$(1-p{)}^n$.

Теперь, используя противоположное событие, мы можем определить вероятность того, что хотя бы один билет будет выигрышным:

$P(\text{хотя бы один выигрышный})=1-P(\text{все не выигрышные})=1-(1-p{)}^n$.

Итак, нам нужно найти такое минимальное число n, при котором вероятность хотя бы одного выигрышного билета будет не менее 0,9, то есть:

$1-(1-p{)}^n\ge 0,9$.

Мы знаем, что вероятность выигрыша для каждого билета p фиксирована. Возьмем, например, p = 0,01, что соответствует вероятности 1% выигрыша при каждой попытке. Подставим это значение в неравенство и решим его относительно n:

$1-(1-0,01{)}^n\ge 0,9$.

Выражение $(1-0,01{)}^n$ можно интерпретировать как вероятность того, что не произошел ни один выигрыш при n билетах. Тем самым, задача сводится к поиску минимального числа n, при котором вероятность не проигрыша составляет не более 0,1:

$(1-0,01{)}^n\le 0,1$.

Решим это неравенство численно. Возьмем значения n от 1 и будем их увеличивать, подставляя в неравенство и проверяя его выполнение:

$(1-0,01{)}^1\approx 0,99$, неравенство не выполнено
$(1-0,01{)}^2\approx 0,9801$, неравенство не выполнено
$(1-0,01{)}^3\approx 0,9703$, неравенство не выполнено
$(1-0,01{)}^4\approx 0,9606$, неравенство не выполнено
...

Продолжаем этот процесс, пока не найдется такое минимальное число n, при котором неравенство будет выполнено. В данном примере мы должны продолжить, пока не достигнем значения n=69:

$(1-0,01{)}^{69}\approx 0,099$, неравенство выполняется.

Таким образом, чтобы быть уверенным с вероятностью не менее 0,9 в наличии хотя бы одного выигрышного билета, нужно купить 69 билетов.