Сколько билетов нужно купить, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что хотя бы один будет выигрышным?

Виталий

29

Чтобы расcчитать, сколько билетов нужно купить, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что хотя бы один будет выигрышным, нам понадобится знание общей вероятности исключающих событий.

Для решения этой задачи можно воспользоваться понятием противоположного события. Противоположным событием к тому, что хотя бы один билет выигрышный, будет событие, при котором все билеты окажутся не выигрышными.

Пусть p - вероятность того, что один билет выигрышный, а (1 - p) - вероятность того, что билет не выигрышный. Тогда вероятность того, что все n билетов окажутся не выигрышными можно получить, перемножив вероятности того, что каждый из этих n билетов не выигрышный:

\((1-p)^n\).

Теперь, используя противоположное событие, мы можем определить вероятность того, что хотя бы один билет будет выигрышным:

\(P(\text{хотя бы один выигрышный}) = 1 - P(\text{все не выигрышные}) = 1 - (1-p)^n\).

Итак, нам нужно найти такое минимальное число n, при котором вероятность хотя бы одного выигрышного билета будет не менее 0,9, то есть:

\(1 - (1-p)^n \geq 0,9\).

Мы знаем, что вероятность выигрыша для каждого билета p фиксирована. Возьмем, например, p = 0,01, что соответствует вероятности 1% выигрыша при каждой попытке. Подставим это значение в неравенство и решим его относительно n:

\(1 - (1-0,01)^n \geq 0,9\).

Выражение \((1-0,01)^n\) можно интерпретировать как вероятность того, что не произошел ни один выигрыш при n билетах. Тем самым, задача сводится к поиску минимального числа n, при котором вероятность не проигрыша составляет не более 0,1:

\((1-0,01)^n \leq 0,1\).

Решим это неравенство численно. Возьмем значения n от 1 и будем их увеличивать, подставляя в неравенство и проверяя его выполнение:

\((1-0,01)^1 \approx 0,99 \), неравенство не выполнено
\((1-0,01)^2 \approx 0,9801 \), неравенство не выполнено
\((1-0,01)^3 \approx 0,9703 \), неравенство не выполнено
\((1-0,01)^4 \approx 0,9606 \), неравенство не выполнено
...

Продолжаем этот процесс, пока не найдется такое минимальное число n, при котором неравенство будет выполнено. В данном примере мы должны продолжить, пока не достигнем значения n=69:

\((1-0,01)^{69} \approx 0,099\), неравенство выполняется.

Таким образом, чтобы быть уверенным с вероятностью не менее 0,9 в наличии хотя бы одного выигрышного билета, нужно купить 69 билетов.