Сколько билетов нужно купить, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что хотя бы один будет выигрышным?

  • 20
Сколько билетов нужно купить, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что хотя бы один будет выигрышным?
Виталий
29
Чтобы расcчитать, сколько билетов нужно купить, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что хотя бы один будет выигрышным, нам понадобится знание общей вероятности исключающих событий.

Для решения этой задачи можно воспользоваться понятием противоположного события. Противоположным событием к тому, что хотя бы один билет выигрышный, будет событие, при котором все билеты окажутся не выигрышными.

Пусть p - вероятность того, что один билет выигрышный, а (1 - p) - вероятность того, что билет не выигрышный. Тогда вероятность того, что все n билетов окажутся не выигрышными можно получить, перемножив вероятности того, что каждый из этих n билетов не выигрышный:

(1p)n.

Теперь, используя противоположное событие, мы можем определить вероятность того, что хотя бы один билет будет выигрышным:

P(хотя бы один выигрышный)=1P(все не выигрышные)=1(1p)n.

Итак, нам нужно найти такое минимальное число n, при котором вероятность хотя бы одного выигрышного билета будет не менее 0,9, то есть:

1(1p)n0,9.

Мы знаем, что вероятность выигрыша для каждого билета p фиксирована. Возьмем, например, p = 0,01, что соответствует вероятности 1% выигрыша при каждой попытке. Подставим это значение в неравенство и решим его относительно n:

1(10,01)n0,9.

Выражение (10,01)n можно интерпретировать как вероятность того, что не произошел ни один выигрыш при n билетах. Тем самым, задача сводится к поиску минимального числа n, при котором вероятность не проигрыша составляет не более 0,1:

(10,01)n0,1.

Решим это неравенство численно. Возьмем значения n от 1 и будем их увеличивать, подставляя в неравенство и проверяя его выполнение:

(10,01)10,99, неравенство не выполнено
(10,01)20,9801, неравенство не выполнено
(10,01)30,9703, неравенство не выполнено
(10,01)40,9606, неравенство не выполнено
...

Продолжаем этот процесс, пока не найдется такое минимальное число n, при котором неравенство будет выполнено. В данном примере мы должны продолжить, пока не достигнем значения n=69:

(10,01)690,099, неравенство выполняется.

Таким образом, чтобы быть уверенным с вероятностью не менее 0,9 в наличии хотя бы одного выигрышного билета, нужно купить 69 билетов.