Сколько целых отрицательных решений имеет неравенство x + 7/ | (дробная черта) > 0 x^2 + 17x?

Андрей

28

Чтобы найти количество целых отрицательных решений неравенства \(x + \frac{7}{|x|} > 0\) и \(x^2 + 17x\), нам необходимо разделить задачу на два случая в зависимости от значения \(x\).

Случай 1: \(x > 0\)
Если \(x > 0\), то \(\frac{7}{|x|} = \frac{7}{x}\).
Таким образом, неравенство принимает вид:
\[x + \frac{7}{x} > 0\]

Чтобы решить это неравенство, давайте перейдем к общему знаменателю:
\(\frac{x^2}{x} + \frac{7}{x} > 0\).

Теперь складываем дроби:
\(\frac{x^2 + 7}{x} > 0\).

Чтобы неравенство было истинным, числитель \(x^2 + 7\) должен быть положительным (так как деление на \(x\) не меняет знак).

Решим уравнение \(x^2 + 7 > 0\).

Вычитаем 7 из обеих сторон:
\(x^2 > -7\).

Учитывая, что квадрат числа всегда неотрицателен, а сумма положительного числа и отрицательного числа всегда положительна, неравенство \(x^2 > -7\) выполняется для всех положительных \(x\).

Следовательно, в случае \(x > 0\) неравенство \(x + \frac{7}{|x|} > 0\) будет верным, и целых отрицательных решений нет.

Случай 2: \(x < 0\)
Если \(x < 0\), то \(\frac{7}{|x|} = \frac{7}{-x} = -\frac{7}{x}\).
Таким образом, неравенство принимает вид:
\[x - \frac{7}{x} > 0\]

Используем те же шаги, что и в предыдущем случае, и получаем:
\(\frac{x^2 - 7}{x} > 0\).

Числитель \(x^2 - 7\) должен быть положительным, чтобы неравенство было выполнено. Решая неравенство \(x^2 - 7 > 0\), мы получаем:
\((-∞,-\sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}, +∞)\).

Теперь нам нужно определить знак дроби \(\frac{1}{x}\). Вспомним, что \(x < 0\).

Если \(x < 0\), то \(\frac{1}{x}\) будет положительным.

Таким образом, неравенство \(x - \frac{7}{x} > 0\) выполняется для \(x < 0\) и \(\frac{1}{x} > 0\).

Выводы и решение:
Итак, по анализу двух случаев мы приходим к выводу, что неравенство \(x + \frac{7}{|x|} > 0\) имеет отрицательные целые решения только при \(x < 0\) и \(\frac{1}{x} > 0\).

Ответ: Неравенство \(x + \frac{7}{|x|} > 0\) имеет бесконечное количество отрицательных целых решений для значения \(x\) из интервала \((-∞,-\sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}, 0)\).