Сколько целых значений удовлетворяет неравенству (√7 - 3,2)(2-√x) ≤ 0 в интервале [-1;2]? Пожалуйста, предоставьте

Магический_Вихрь

43

Конечно! Давайте решим эту задачу вместе на отдельном листке.

Неравенство, которое дано, выглядит следующим образом: \((\sqrt{7} - 3.2)(2 - \sqrt{x}) \leq 0\)

Для начала, нам необходимо определить интервал, на котором мы ищем решение. В задаче указано, что интервал [-1;2].

1) Перейдем к решению самого неравенства, а именно, определим знак произведения \((\sqrt{7} - 3.2)(2 - \sqrt{x})\).

Для этого нам понадобится знать знак каждого множителя по отдельности.

а) Посмотрим на первый множитель \(\sqrt{7} - 3.2\). Чтобы понять его знак, нам нужно понять, больше или меньше \(\sqrt{7}\) значения 3.2. Очевидно, что \(\sqrt{7} > 3.2\), так как \(\sqrt{7} \approx 2.646\) (округляем до трех знаков после запятой), а 3.2 - это число больше 2.646. Значит, первый множитель \(\sqrt{7} - 3.2\) имеет положительный знак.

б) Теперь рассмотрим второй множитель \(2 - \sqrt{x}\). Чтобы определить его знак, нужно понять, больше или меньше значения \(\sqrt{x}\) числа 2. Решим это:

\(\sqrt{x} \leq 2\)

Возведем обе части неравенства в квадрат:

\(x \leq 4\)

Таким образом, второй множитель \(2 - \sqrt{x}\) будет меньше или равен нулю только при значениях \(x\), которые меньше или равны 4.

2) Теперь, имея информацию о знаках обоих множителей исходного неравенства, мы можем найти значения, при которых произведение будет меньше или равно нулю.

Для этого разобьем интервал [-1;2] на несколько отрезков, где первый – это значение \(\sqrt{7} - 3.2\) (положительное число) умноженное на значения \(2 - \sqrt{x}\) (число меньше или равное нулю), второй – это значение \(\sqrt{7} - 3.2\) (положительное число) умноженное на значения \(2 - \sqrt{x}\) (число больше нуля).

Отрезки будут следующими:

а) Первый отрезок: \([-1;\sqrt{7} - 3.2]\)

б) Второй отрезок: \((\sqrt{7} - 3.2; 2]\)

3) Для каждого отрезка определим количество целых значений, которые удовлетворяют исходному неравенству.

а) На первом отрезке: \([-1;\sqrt{7} - 3.2]\)

Так как первый множитель \(\sqrt{7} - 3.2\) положителен, а второй множитель \(2 - \sqrt{x}\) отрицателен, чтобы произведение было меньше или равно нулю, нам нужно, чтобы первый отрезок содержал отрицательные значения целого \(\sqrt{x}\). Отрицательные значения \(\sqrt{x}\) достигаются, когда \(x\) находится в интервале \((-1; (\sqrt{7} - 3.2)^2]\).

Мы можем заметить, что \((\sqrt{7} - 3.2)^2 \approx -3.25\), что невозможно (квадрат никогда не может быть отрицательным). Значит, на первом отрезке нет целых значений, удовлетворяющих исходному неравенству.

б) Второй отрезок: \((\sqrt{7} - 3.2; 2]\)

Так как оба множителя положительны, чтобы произведение было меньше или равно нулю, нам нужно, чтобы второй отрезок содержал значения \(x\), которые больше или равны \(4\).

Итак, мы должны исследовать только второй отрезок и найти количество целых значений \(x\), которые удовлетворяют условию.

4) Чтобы найти целые значения, расположенные на втором отрезке, нужно взять только целочисленные значения \(x\), которые больше или равны 4. В нашем случае, на этом отрезке нет целых значений \(x\), удовлетворяющих этому условию.

Итак, в исходном неравенстве \( (\sqrt{7} - 3.2)(2 - \sqrt{x}) \leq 0\) на интервале [-1;2] нет целых значений, удовлетворяющих данному неравенству.