Сколько частей связности может быть в данном графе, если он содержит 18 вершин, где степень каждой вершины равна
Сколько частей связности может быть в данном графе, если он содержит 18 вершин, где степень каждой вершины равна 2 или 5 и присутствуют вершины обеих степеней?
Valentinovna 1
Для начала определим общее количество рёбер в графе.Обозначим количество вершин степени 2 как \(V_2\), а количество вершин степени 5 как \(V_5\). По условию задачи известно, что в графе 18 вершин, а также что каждая вершина имеет степень либо 2, либо 5.
Теперь составим уравнение, используя формулу рукопожатий (формула Эйлера):
\[2E = 2 \cdot V_2 + 5 \cdot V_5\]
Где E - количество рёбер в графе. Так как каждое ребро инцидентно двум вершинам, то общее количество степеней вершин в графе равно удвоенному количеству рёбер.
Известно, что количество вершин равно 18:
\[V_2 + V_5 = 18\]
Также у нас есть условие, что количество вершин обеих степеней присутствуют:
\[V_2, V_5 > 0\]
Теперь подставим \(V_2 = 18 - V_5\) в уравнение с количеством рёбер:
\[2E = 2(18 - V_5) + 5V_5\]
Упростим уравнение:
\[2E = 36 - 2V_5 + 5V_5\]
\[2E = 36 + 3V_5\]
\[E = 18 + \frac{3}{2}V_5\]
Так как количество рёбер должно быть целым числом, то \(V_5\) должно быть чётным, чтобы \(E\) также было целым числом. Поскольку в графе каждое ребро соединяет две вершины, то общее количество частей связности \(C\) будет равно количеству вершин, так как граф является связным.
Следовательно, \(C = 18\).
Таким образом, в данном графе с 18 вершинами, где степень каждой вершины равна 2 или 5 и присутствуют вершины обеих степеней, количество частей связности равно 18.