Сколько чисел арифметической прогрессии 10;14;... находятся в интервале между 120 и 370?

Bulka

23

Для решения этой задачи, нам необходимо найти количество чисел в арифметической прогрессии, которые находятся в заданном интервале \([120, 370]\).

Первым шагом мы должны определить формулу общего члена арифметической прогрессии. В данном случае, первый член равен 10, и мы должны найти разность между каждым членом последовательности. Давайте обозначим разность буквой \(d\).

Формула общего члена арифметической прогрессии имеет вид:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

где \(a_n\) - значение \(n\)-го элемента прогрессии, \(a_1\) - значение первого элемента прогрессии, \(n\) - номер элемента прогрессии, \(d\) - разность между членами прогрессии.

Теперь, мы должны найти количество чисел в прогрессии, которые находятся в интервале \([120, 370]\). Для этого, мы можем найти номера двух членов прогрессии, которые попадают в этот интервал и вычислить разность этих номеров.

Найдем номер первого члена прогрессии, который больше или равен 120. Мы можем использовать формулу общего члена прогрессии, чтобы найти этот номер:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]
\[120 = 10 + (n_1 - 1) \cdot 4\]

Решим это уравнение для \(n_1\):

\[110 = (n_1 - 1) \cdot 4\]
\[n_1 - 1 = \frac{110}{4}\]
\[n_1 - 1 = 27.5\]
\[n_1 = 28.5\]

Заметим, что номер должен быть целым числом, поэтому округлим \(n_1\) вверх до 28.

Аналогичным образом, найдем номер последнего члена прогрессии, который меньше или равен 370:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]
\[370 = 10 + (n_2 - 1) \cdot 4\]

Решим это уравнение для \(n_2\):

\[360 = (n_2 - 1) \cdot 4\]
\[n_2 - 1 = \frac{360}{4}\]
\[n_2 - 1 = 90\]
\[n_2 = 91\]

Теперь мы знаем, что прогрессия содержит 91 членов, и все они между ними включают вышеупомянутые члены. Теперь нам нужно вычислить количество членов, которые попадают в интервал \([120, 370]\).

Чтобы это сделать, мы вычтем номер первого члена прогрессии, который меньше 120 (28), из номера последнего члена прогрессии, который меньше 370 (91):

\[количество\ чисел\ в\ интервале = n_2 - n_1 + 1\]
\[количество\ чисел\ в\ интервале = 91 - 28 + 1\]
\[количество\ чисел\ в\ интервале = 64\]

Итак, имеется 64 числа арифметической прогрессии \{10, 14, ...\}, которые находятся в интервале между 120 и 370.