На сколько больше значение log2(log2(a^8)) по сравнению со значением log2(log2(a))?

Fontan

61

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства логарифмов.

1. Свойство логарифма:

\(\log_b(x^y) = y \cdot \log_b(x)\), где \(b\) - основание логарифма.

2. Свойство смены основания логарифма:

\(\log_b(x) = \frac{{\log_c(x)}}{{\log_c(b)}}\), где \(c\) - новое основание логарифма.

Теперь приступим к самому решению задачи:

Имеется выражение

\(\log_2(\log_2(a^8))\).

Давайте разберем его шаг за шагом:

1. Сначала рассмотрим выражение \(\log_2(a^8)\). Воспользуемся свойством логарифма:

\(\log_2(a^8) = 8 \cdot \log_2(a)\).

2. Теперь, подставим это в исходное выражение:

\(\log_2(\log_2(a^8)) = \log_2(\log_2(8 \cdot \log_2(a)))\).

3. Применяем свойство смены основания логарифма:

\(\log_2(\log_2(a^8)) = \frac{{\log_c(8 \cdot \log_2(a))}}{{\log_c(2)}}\), где \(c\) - новое основание логарифма.

4. В данном случае, для простоты вычислений, возьмем \(c = 2\):

\(\log_2(\log_2(a^8)) = \frac{{\log_2(8 \cdot \log_2(a))}}{{\log_2(2)}}\).

5. Приведем к общему знаменателю:

\(\log_2(\log_2(a^8)) = \frac{{\log_2(8 \cdot \log_2(a))}}{{1}}\).

6. Раскроем логарифм по свойству логарифма:

\(\log_2(\log_2(a^8)) = \log_2(8 \cdot \log_2(a))\).

Таким образом, значения выражений \(\log_2(\log_2(a^8))\) и \(\log_2(\log_2(a))\) равны между собой.

Вывод: Значение \( \log_2(\log_2(a^8)) \) не больше и не меньше значения \( \log_2(\log_2(a)) \). Они равны.