Which of the following sequences are geometric progressions? frac{2}{a_1}; frac{2}{a_2}; frac{2}{a_3}; ... a_1^2

Андреевич

6

Для определения, какие из данных последовательностей являются геометрическими прогрессиями, мы должны проверить, выполняется ли для них условие геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия имеет следующий вид: \(a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\), где \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, а \(n\) - номер члена прогрессии.

Давайте рассмотрим каждую из данных последовательностей по очереди:

1) Последовательность \(\frac{2}{a_1}\): Чтобы узнать, является ли она геометрической прогрессией, мы должны установить, выполняется ли следующее условие: \(\frac{2}{a_n} = \frac{2}{a_1} \cdot q^{(n-1)}\). Однако, в данном случае \(a_1\) находится в знаменателе, поэтому данная последовательность не является геометрической прогрессией.

2) Последовательность \(\frac{2}{a_2}\): Аналогично предыдущей последовательности, данная последовательность также не является геометрической прогрессией, так как \(a_1\) находится в знаменателе.

3) Последовательность \(\frac{2}{a_3}\): Эта последовательность также не является геометрической прогрессией, так как \(a_1\) находится в знаменателе.

4) Последовательность \(a_1^2\): Чтобы проверить, является ли эта последовательность геометрической прогрессией, нужно установить, выполняется ли условие: \(a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\). В данном случае, \(a_1^2 = a_1 \cdot q^{(1-1)}\), где \(q = 1\). Таким образом, данная последовательность является геометрической прогрессией с \(a_1\) в качестве первого члена и \(q = 1\) в качестве знаменателя.

5) Последовательность \(-3a_1\): Аналогично предыдущей последовательности, данная последовательность является геометрической прогрессией. Здесь первый член равен \(-3a_1\), а знаменатель равен \(q = -3\).

6) Последовательность \(a_1+1\): Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Первый член равен \(a_1 + 1\), а знаменатель равен \(q = 1\).

Итак, из данных последовательностей только \(a_1^2\), \(-3a_1\) и \(a_1+1\) являются геометрическими прогрессиями.