Сколько чисел в двоичной записи результата 8^125 – 4^156 + 2^632?

Вечерняя_Звезда_6466

67

Чтобы решить эту задачу, мы должны вычислить результат выражения \(8^{125} - 4^{156} + 2^{632}\). Давайте разберемся с каждым слагаемым по очереди.

Первое слагаемое: \(8^{125}\)
Для вычисления этого слагаемого нам понадобится использовать основное свойство степени, согласно которому \(a^{b+c} = a^b \cdot a^c\). Применяя это свойство, мы можем записать \(8^{125}\) как \((2^3)^{125}\). Затем мы можем применить свойство степени к \(2^3\) и получим \(8^{125} = 2^{3 \cdot 125} = 2^{375}\).

Второе слагаемое: \(4^{156}\)
Как и в предыдущем случае, мы можем записать \(4^{156}\) как \((2^2)^{156}\) и затем использовать свойство степени, чтобы разделить показатель степени на коэффициент. Таким образом, \(4^{156} = 2^{2 \cdot 156} = 2^{312}\).

Третье слагаемое: \(2^{632}\)
В данном случае у нас уже есть степень, в которую нужно возвести число 2. Мы можем сразу же записать эту степень и перейти к следующему шагу.

Теперь у нас есть все слагаемые в исходном выражении: \(2^{375} - 2^{312} + 2^{632}\).
Чтобы вычислить это выражение, мы можем обратиться к свойству степени, согласно которому \(a^b \pm a^b = a^b \cdot (1 \pm 1)\). Если мы заметим, что \(2^{375} - 2^{312} + 2^{632}\) имеет вид разности, то можно допустить, что \(2^{312}\) и \(2^{375}\) образуют сомножители и, соответственно, можно вынести их за скобки. Получаем:

\(2^{375} - 2^{312} + 2^{632} = 2^{312} \cdot (2^{63} - 1) + 2^{632}\).

Первое слагаемое может быть выражено через разность квадратов, а широко известно, что \(a^2 - b^2 = (a - b) \cdot (a + b)\). Применив это свойство, мы можем записать \(2^{63} - 1\) как \((2^{63} - 1) \cdot (2^{63} + 1)\). После раскрытия скобок, получаем:

\(2^{312} \cdot (2^{63} - 1) + 2^{632} = 2^{312} \cdot (2^{63} - 1) + 2^{632} \cdot (2^{63} + 1)\).

Теперь, чтобы решить изначальное выражение, у нас есть две прибавки. Мы можем воспользоваться основным свойством сложения степеней с одинаковыми основаниями и записать выражение как:

\(2^{312} \cdot (2^{63} - 1 + 2^{63} + 1)\).

Упрощая выражение внутри скобок, получаем:

\(2^{312} \cdot 2 \cdot 2^{63} = 2^{313} \cdot 2^{63} = 2^{376}\).

Таким образом, результат выражения \(8^{125} - 4^{156} + 2^{632}\) равен \(2^{376}\).

Теперь, чтобы ответить на ваш вопрос о количестве чисел в двоичной записи этого результата, мы должны преобразовать \(2^{376}\) в двоичную систему счисления и посчитать количество цифр. Давайте это сделаем:

\(2^{376}\) в двоичной системе счисления равно \(10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\).

Посчитав количество цифр в этом числе, мы получаем, что в двоичной записи результата всего 377 цифр.

Итак, ответ на вашу задачу состоит в том, что в двоичной записи результата \(8^{125} - 4^{156} + 2^{632}\) содержится 377 чисел.