Сколько градусов составляет угол A в прямоугольном треугольнике ABC, где C - прямой угол, а CD является высотой?

Совёнок

9

Для решения этой задачи вам понадобится применить теорему Пифагора и определение тангенса.

1. Сначала проверим, какую сторону треугольника представляет собой сторона BC. Мы знаем, что угол C является прямым углом, а CD — высота, проведенная из вершины C. Таким образом, сторона BC является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC, а сторона AB — катетом.

2. Воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. То есть, по формуле Пифагора, имеем:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

3. Заметим, что сторона AC представляет собой другой катет прямоугольного треугольника, а не гипотенузу. Нам нужно найти угол A, а у нас есть длины сторон AB и BC. Поэтому мы можем использовать определение тангенса, чтобы определить отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике.

4. Определение тангенса выглядит следующим образом:

\[\tan(A) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}\]

5. В нашем случае, противолежащим катетом является сторона AB, а прилежащим катетом — сторона BC.

Теперь перейдем к подсчету.

6. Используем определение тангенса, чтобы найти угол A. По формуле, имеем:

\[\tan(A) = \frac{{AB}}{{BC}}\]

7. Подставляем известные значения:

\[\tan(A) = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{DB}}{{BC}} = \frac{{8}}{{BC}}\]

8. Решим уравнение относительно BC:

\[\frac{{8}}{{BC}} = \tan(A)\]

\[\frac{{BC}}{{8}} = \frac{{1}}{{\tan(A)}}\]

\[BC = \frac{{8}}{{\tan(A)}}\]

9. Теперь, используя теорему Пифагора, мы можем выразить сторону AC через стороны AB и BC:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

\[AB^2 + \left(\frac{{8}}{{\tan(A)}}\right)^2 = AC^2\]

\[AB^2 + \frac{{64}}{{\tan^2(A)}} = AC^2\]

10. Исходя из известного нам соотношения \(\tan(A) = \frac{{8}}{{BC}}\), можем выразить \(\tan^2(A)\) через BC:

\(\tan^2(A) = \left(\frac{{8}}{{BC}}\right)^2 = \frac{{64}}{{BC^2}}\)

11. Подставляем это выражение в уравнение, которое мы получили на шаге 9:

\[AB^2 + \frac{{64}}{{\tan^2(A)}} = AC^2\]

\[AB^2 + \frac{{64}}{{\frac{{64}}{{BC^2}}}} = AC^2\]

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

12. Обратите внимание, что у нас снова получилось уравнение, содержащее только стороны треугольника. Это означает, что мы можем продолжить подставлять значение BC и решать уравнение.

13. Применяя теорему Пифагора к уравнению, имеем:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

\[AB^2 + \left(\frac{{8}}{{\tan(A)}}\right)^2 = AC^2\]

\[AB^2 + \left(\frac{{8}}{{\tan(A)}}\right)^2 = \left(\frac{{8}}{{\tan(A)}}\right)^2 + AB^2\]

\[AC^2 = \left(\frac{{8}}{{\tan(A)}}\right)^2 + AB^2\]

\[AC^2 = \frac{{64}}{{\tan^2(A)}} + AB^2\]

14. Используя соотношение \(\tan(A) = \frac{{8}}{{BC}}\) и заменяя угол тангенса на BC:

\[AC^2 = \frac{{64}}{{\left(\frac{{8}}{{BC}}\right)^2}} + AB^2\]

\[AC^2 = \frac{{64}}{{\frac{{64}}{{BC^2}}}} + AB^2\]

\[AC^2 = BC^2 + AB^2\]

15. Теперь мы имеем равенство между сторонами треугольника, и это объясняет нам, что угол A является прямым углом (90 градусов), так как в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Таким образом, угол A составляет 90 градусов.