Сколько килограммов урана распадется за время, в три раза большее, чем его период полураспада, в случае, если начальная

Arseniy

37

Давайте начнем с первой задачи. Мы должны определить, сколько килограммов урана распадется за время, в три раза большее, чем период полураспада урана, если его начальная масса составляла 32 кг.

Период полураспада урана - это время, в течение которого половина начальной массы урана превращается в другие элементы. Давайте обозначим период полураспада урана как \(T\), а время, в три раза большее, чем период полураспада, как \(3T\).

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать экспоненциальную функцию распада. Формула для количества оставшегося урана \(N\) после определенного времени \(t\) выглядит следующим образом:

\[N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

Где:
- \(N_0\) - начальное количество урана
- \(\lambda\) - константа распада, которая связана с периодом полураспада \(T\) формулой \(\lambda = \frac{\ln(2)}{T}\)
- \(t\) - время

Начальная масса урана равна 32 кг, так что \(N_0 = 32\). Константа распада будет равна \(\lambda = \frac{\ln(2)}{T}\), и время \(t\) составит \(3T\).

Теперь, подставим все значения и решим задачу:

\(\lambda = \frac{\ln(2)}{T}\)

\(t = 3T\)

\[N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

\[N = 32 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{T} \cdot 3T}\]

\[N = 32 \cdot e^{-3 \ln(2)}\]

\[N = 32 \cdot (e^{\ln(2)})^{-3}\]

\[N = 32 \cdot 2^{-3}\]

\[N = 32 \cdot \frac{1}{8}\]

\[N = 4\]

Таким образом, при условии, что начальная масса урана составляет 32 кг, 4 килограмма урана распадется за время, в три раза большее, чем его период полураспада.

Теперь перейдем ко второй задаче, где мы должны определить, сколько килограммов урана необходимо взять, чтобы после двух периодов полураспада осталось 32 кг урана.

Аналогично, мы можем использовать формулу для количества оставшегося урана \(N\) после определенного времени \(t\):

\[N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

Теперь, нам нужно найти начальную массу урана \(N_0\) при условии, что после двух периодов полураспада останется 32 кг.

Количество урана после двух периодов полураспада будет равно \(N = 32\) кг, а время \(t\) составит \(2T\). Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:

\[\begin{cases} N = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \\ N = 32 \\ t = 2T \end{cases}\]

Мы знаем, что \(\lambda = \frac{\ln(2)}{T}\), поэтому мы можем заменить \(\lambda\) через \(T\) в первом уравнении системы:

\[32 = N_0 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{T} \cdot 2T}\]

\[32 = N_0 \cdot e^{-2 \ln(2)}\]

\[32 = N_0 \cdot (e^{\ln(2)})^{-2}\]

\[32 = N_0 \cdot 2^{-2}\]

\[32 = N_0 \cdot \frac{1}{4}\]

\[N_0 = 32 \cdot 4\]

\[N_0 = 128\]

Таким образом, нам необходимо взять 128 кг урана, чтобы после двух периодов полураспада осталось 32 кг урана.

Надеюсь, это решение к задаче было понятно. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.