Сколько клетчатых квадратов размером 3x3 можно удалить из клетчатой доски размером 17x17 так, чтобы нельзя было удалить
Сколько клетчатых квадратов размером 3x3 можно удалить из клетчатой доски размером 17x17 так, чтобы нельзя было удалить больше ни одного квадрата?
Yarost 45
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип комбинаторики.Размер доски 17x17 означает, что у нас есть 17 горизонтальных строк и 17 вертикальных столбцов.
Чтобы ответить на вопрос, сколько клетчатых квадратов 3x3 можно удалить, давайте рассмотрим следующее:
Когда мы удаляем первый квадрат 3x3, наш выбор для следующего удаляемого квадрата будет более ограничен. Мы не сможем удалить квадрат, который пересекается с предыдущим удаленным квадратом, потому что в этом случае мы бы удалили больше одного квадрата.
Таким образом, после удаления первого квадрата 3x3, у нас останется 16 строк и 16 столбцов для выбора следующего удаления.
Когда мы удаляем второй квадрат 3x3, снова мы не можем выбрать квадрат, который пересекается с уже удаленными. Таким образом, остается 15 строк и 15 столбцов для следующего удаления.
Продолжая этот процесс, мы сможем удалить только один квадрат 3x3 на каждом шаге, пока остаются 3 строки и 3 столбца.
Таким образом, общее количество клетчатых квадратов 3x3, которые можно удалить, будет равно 16 * 16 + 15 * 15 + 14 * 14 + ... + 3 * 3.
Давайте вычислим это значение:
\[16 * 16 + 15 * 15 + 14 * 14 + ... + 3 * 3 = \sum_{n=3}^{16} n^2\]
Воспользуемся формулой для суммы квадратов натуральных чисел:
\[\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\]
Применяя эту формулу, найдем искомую сумму:
\[\sum_{n=3}^{16} n^2 = \frac{16(16+1)(2*16+1)}{6} - \frac{2(2+1)(2*2+1)}{6}\]
Выполнив вычисления, получим:
\[\sum_{n=3}^{16} n^2 = 1496 - 5 = 1491\]
Таким образом, мы можем удалить 1491 клетчатых квадратов 3x3 из клетчатой доски размером 17x17, так чтобы нельзя было удалить больше ни одного квадрата.