Сколько колебаний должен произвести математический маятник длиной 29 см, чтобы его амплитуда уменьшилась в 67 раз?

Аида

12

Хорошо, чтобы найти количество колебаний, необходимое для уменьшения амплитуды в 67 раз, нам потребуется использовать закон сохранения механической энергии. Позвольте мне объяснить каждый шаг.

Первым шагом будет использование закона сохранения механической энергии для записи уравнения нашего математического маятника. Механическая энергия математического маятника состоит из его кинетической энергии (связанной с движением) и потенциальной энергии (связанной с его положением). Формулы для этих энергий выглядят следующим образом:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2\]
\[E_{\text{пот}} = mgh\]

где \(E_{\text{кин}}\) - кинетическая энергия, \(E_{\text{пот}}\) - потенциальная энергия, \(m\) - масса маятника, \(v\) - скорость маятника, \(g\) - ускорение свободного падения и \(h\) - высота маятника над точкой равновесия.

Однако, в нашем случае распишем потенциальную энергию более подробно. Мы знаем, что выражение для потенциальной энергии математического маятника имеет вид:

\[E_{\text{пот}} = mgh = mgL(1-\cos\theta)\]

где \(L\) - длина маятника, \(\theta\) - угол маятника относительно точки равновесия.

Теперь, когда у нас есть выражения для кинетической и потенциальной энергии, мы можем записать закон сохранения механической энергии:

\[E_{\text{кин начальн}} + E_{\text{пот начальн}} = E_{\text{кин конечн}} + E_{\text{пот конечн}}\]

Изначально у нашего маятника амплитуда максимальна, так что его скорость равна нулю и полная энергия является потенциальной энергией:

\[E_{\text{пот начальн}} = E_{\text{пот конечн}}\]

Окончательное уравнение имеет вид:

\[mgL(1-\cos\theta_{\text{нач}}) = \frac{1}{2} m v_{\text{кон}}^2\]

Теперь нам нужно использовать связь между амплитудой и максимальным углом колебаний математического маятника:

\[\cos\theta_{\text{нач}}= \cos\theta_{\text{макс}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\]

Таким образом, получаем:

\[mgL(1-0) = \frac{1}{2} m v_{\text{кон}}^2\]

Масса \(m\) и длина \(L\) маятника сокращаются с обеих сторон уравнения, и мы получаем:

\[gL = \frac{1}{2} v_{\text{кон}}^2\]

Теперь давайте рассмотрим, что значит "амплитуда уменьшилась в 67 раз". Мы знаем, что амплитуда связана с максимальным углом колебаний:

\[\cos\theta_{\text{кон}} = \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\theta_{\text{макс}}}{\text{амплитуда}}\right)\]

Поскольку \(\cos\theta_{\text{кон}} = 0\) (амплитуда уменьшилась в 67 раз), мы можем записать:

\[0 = \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\theta_{\text{макс}}}{\text{амплитуда}}\right)\]

Из этого соотношения мы можем найти, что \(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\theta_{\text{макс}}}{\text{амплитуда}} = \frac{\pi}{2}\). Упрощая, получаем:

\[\theta_{\text{макс}} = \text{амплитуда}\]

Теперь, чтобы решить задачу, мы можем подставить эти значения в наше уравнение для энергии:

\[gL = \frac{1}{2} v_{\text{кон}}^2\]

Теперь нам нужно найти значение \(\frac{v_{\text{кон}}^2}{gL}\), чтобы затем использовать его для нахождения количества колебаний \(n\):

\[\frac{v_{\text{кон}}^2}{gL} = \frac{2}{1}\]

Упрощая, мы получаем:

\(\frac{v_{\text{кон}}^2}{gL} = 2\)

Беря квадратный корень от обеих сторон, мы получаем:

\(\frac{v_{\text{кон}}}{\sqrt{gL}} = \sqrt{2}\)

Теперь мы можем использовать известную формулу для зависимости между периодом колебаний \(T\) и длиной \(L\) нашего математического маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

Подставляя это значение, мы получаем:

\[\frac{v_{\text{кон}}}{2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{2}\]

Теперь, чтобы найти количество колебаний \(n\), мы можем использовать формулу для выражения скорости \(v_{\text{кон}}\) через количество колебаний \(n\) и период \(T\):

\(v_{\text{кон}} = 2\pi n T\)

Подставляя это значение обратно в предыдущее уравнение, мы получаем:

\[\frac{2\pi n T}{2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{2}\]

Сокращая сомножители, получаем:

\[\frac{n T}{\sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{2}\]

Теперь делим обе стороны уравнения на \(\sqrt{\frac{L}{g}}\), чтобы найти значение \(\frac{n T}{\sqrt{\frac{L}{g}}}\):

\[\frac{n T}{\sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{2}\]

Умножая обе стороны на \(\sqrt{\frac{L}{g}}\) и деля на \(\sqrt{2}\), получаем:

\[n T = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{L}{g}}\]

Сокращая, мы получаем:

\[n T = \sqrt{2L} \sqrt{\frac{1}{g}}\]

Теперь поделим обе стороны на \(T\), чтобы найти значение \(n\):

\[n = \frac{\sqrt{2L}}{\sqrt{g}}\]

В нашей задаче, длина маятника \(L\) равна 29 см, что равно 0.29 м, и ускорение свободного падения \(g\) равно примерно 9.8 м/с². Подставляя эти значения, мы получаем:

\[n = \frac{\sqrt{2\cdot 0.29}}{\sqrt{9.8}}\]

Теперь давайте рассчитаем это численно:

\[n \approx \frac{\sqrt{0.58}}{\sqrt{9.8}} \approx \frac{0.76}{3.13} \approx 0.24\]

Таким образом, наш математический маятник должен совершить примерно 0.24 колебания, чтобы его амплитуда уменьшилась в 67 раз.