Сколько компонент связности возможно в графе с 18 вершинами, где степень каждой вершины равна 2 или 5, и обе степени

Чудесный_Король

42

Чтобы решить эту задачу, давайте вначале вспомним, что такое компонента связности в графе. Компонента связности - это максимальное подмножество вершин графа, где между любыми двумя вершинами существует путь, и при этом не существует вершин из других компонент связности, с которыми можно было бы соединиться.

В данной задаче граф имеет 18 вершин, и каждая вершина имеет степень либо 2, либо 5.

Допустим, у нас есть k компонент связности. Рассмотрим наименьшую компоненту связности, она может состоять из одной вершины, так как это наименьшая единица. В этом случае в нашем графе имеется k - 1 вершина (так как одна вершина уже включена в наименьшую компоненту связности).

Теперь давайте рассмотрим наибольшую компоненту связности. Поскольку степень каждой вершины либо 2, либо 5, и обе степени присутствуют, то у наибольшей компоненты связности должно быть нечетное количество вершин (так как сумма степеней всех вершин в графе всегда четная).

Поскольку граф имеет 18 вершин, и мы уже учли k - 1 вершину в наименьшей компоненте связности, то у наибольшей компоненты связности будет 18 - (k - 1) вершин.

Теперь вспомним, что каждая вершина имеет степень 2 или 5, и обе степени присутствуют. Это означает, что у наибольшей компоненты связности должно быть \(2n + 5m\) вершин, где n - количество вершин степени 2, m - количество вершин степени 5.

Таким образом, мы можем записать уравнение для количества вершин в наибольшей компоненте связности:

\(2n + 5m = 18 - (k - 1)\)

Теперь давайте рассмотрим несколько вариантов для \(2n + 5m\), чтобы получить количество вершин в наибольшей компоненте связности, выраженное через \(k\):

1) \(2n + 5m = 1\): В данном случае невозможно получить ни одну вершину в наибольшей компоненте связности, так как 1 нечетное число, которое больше 0. Значит, этот вариант нам не подходит.

2) \(2n + 5m = 3\): Аналогично, невозможно получить 3 вершины в наибольшей компоненте связности, так как 3 тоже нечетное число, которое больше 0.

3) \(2n + 5m = 5\): Здесь также невозможно получить 5 вершин в наибольшей компоненте связности, так как 5 тоже нечетное число, которое больше 0.

4) \(2n + 5m = 7\): Данный вариант тоже не дает нам решений, так как 7 не делится ни на 2, ни на 5.

5) \(2n + 5m = 9\): В этом случае мы можем решить данное уравнение с помощью метода перебора. Выберем различные значения для n и m и посмотрим, какие из них удовлетворяют нашему уравнению:

- Подставим n = 2 и m = 1: \(2 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 9\). Это решение подходит.

Таким образом, при k = 2 (одна вершина в наименьшей компоненте связности) и \(2n + 5m = 9\) (пять вершин в наибольшей компоненте связности), мы получаем одно возможное количество компонент связности в данном графе.

Ответ: возможно 2 компоненты связности в графе с 18 вершинами, где степень каждой вершины равна 2 или 5, и обе степени вершин присутствуют.