Сколько корней имеет уравнение 3tgx+корень3=0 на интервале (−3π/2;0)?

Karamel

57

Для решения данной задачи, мы должны найти количество корней уравнения \(3\tan{x} + \sqrt{3} = 0\) на интервале \(-\frac{3\pi}{2}; 0\).

Для начала, давайте преобразуем уравнение, чтобы выразить \(x\):

\[3\tan{x} + \sqrt{3} = 0\]

Вычтем \(\sqrt{3}\) из обеих частей:

\[3\tan{x} = -\sqrt{3}\]

Теперь разделим обе части на 3:

\[\tan{x} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\]

Используя определение тангенса, мы можем записать это в виде:

\[\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\]

Возьмем квадраты обеих частей уравнения:

\[\sin^2{x} = \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\]

Теперь нам нужно найти значения \(x\) на интервале \(-\frac{3\pi}{2}; 0\), где \(\sin{x} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\).

На интервале \(-\frac{3\pi}{2}; 0\), синус положителен только во второй и третьей четверти, поэтому мы ищем только значения \(x\) в таких областях.

Во второй четверти \(\sin{x} > 0\) и \(\cos{x} < 0\). Поэтому \(\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} < 0\). Нам нужно найти такой \(x\), чтобы \(\tan{x} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\), что нашим условиям не удовлетворяет.

В третьей четверти \(\sin{x} < 0\) и \(\cos{x} < 0\). Поэтому \(\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} > 0\). Также, чтобы условию \(\tan{x} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\) удовлетворяло значение \(x\), нужно, чтобы \(\sin{x} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Таким образом, единственное значение \(x\), удовлетворяющее условиям задачи на интервале \(-\frac{3\pi}{2}; 0\), это \(x = -\frac{5\pi}{6}\).

Получается, что уравнение \(3\tan{x} + \sqrt{3} = 0\) имеет только один корень на указанном интервале, а именно \(x = -\frac{5\pi}{6}\).