Где находится точка максимума функции f(x)=1/2x^4-x^3-3/2x^2, где x неотрицательное число?

Елена

40

Для нахождения точки максимума функции f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 - \frac{3}{2}x^2, где x является неотрицательным числом, мы должны взять первую производную функции и приравнять ее к нулю. Это позволит нам найти точки, где функция имеет экстремумы.

Первая производная функции f(x) определяется как производная суммы каждого члена функции. Вначале найдем производную каждого члена по отдельности:

\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2}x^4\right) = \frac{4}{2}x^{4-1} = 2x^3

\frac{d}{dx} \left(-x^3\right) = -3x^{3-1} = -3x^2

\frac{d}{dx} \left(-\frac{3}{2}x^2\right) = -\frac{2\cdot3}{2}x^{2-1} = -3x

Теперь сложим все найденные производные:

f"(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x

Для нахождения точки максимума, мы приравниваем первую производную к нулю и решаем уравнение:

2x^3 - 3x^2 - 3x = 0

Можно факторизировать это уравнение, вынеся общий множитель:

x(2x^2 - 3x - 3) = 0

Теперь мы имеем два возможных решения: либо x = 0, либо (2x^2 - 3x - 3) = 0.

Для второго уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти значения x:

x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2}

x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{4}

x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}

Теперь мы получили три возможные точки, где функция может иметь экстремумы: x = 0 и x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}.

Остается проверить каждую точку, чтобы узнать, где находится точка максимума. Для этого мы можем построить вторую производную и проверить ее знак.

Вторая производная функции f(x) определяется как производная первой производной:

f""(x) = \frac{d}{dx} (2x^3 - 3x^2 - 3x) = 6x^2 - 6x - 3

Мы можем использовать эти данные, чтобы определить характер поведения функции вблизи каждой из трех точек.

- Для x = 0, подставим это значение во вторую производную:

f""(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 3 = -3

Так как вторая производная отрицательна, это означает, что функция имеет точку максимума при x = 0.

- Для x = \frac{3 + \sqrt{33}}{4}, подставим это значение во вторую производную:

f""\left(\frac{3 + \sqrt{33}}{4}\right) = 6\left(\frac{3 + \sqrt{33}}{4}\right)^2 - 6\left(\frac{3 + \sqrt{33}}{4}\right) - 3

После вычислений получаем:

f""\left(\frac{3 + \sqrt{33}}{4}\right) \approx 1.079

Так как вторая производная положительна, это означает, что функция имеет точку минимума при x = \frac{3 + \sqrt{33}}{4}.

- Для x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}, подставляем это значение во вторую производную:

f""\left(\frac{3 - \sqrt{33}}{4}\right) = 6\left(\frac{3 - \sqrt{33}}{4}\right)^2 - 6\left(\frac{3 - \sqrt{33}}{4}\right) - 3

После вычислений получаем:

f""\left(\frac{3 - \sqrt{33}}{4}\right) \approx -0.912

Так как вторая производная отрицательна, это означает, что функция имеет точку максимума при x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}.

Итак, мы получили две точки максимума функции f(x): x = 0 и x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}.