Сколько корней имеет уравнение sinx=1/3 на данном промежутке?

Velvet

25

Данное уравнение sinx = 1/3 требуется решить на заданном промежутке. Для начала, давайте посмотрим на график функции синуса для лучшего понимания происходящего.

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xmax=2*pi,
xlabel={$x$},
ylabel={$y$},
thick,
samples=100,
xtick={0,pi/2,pi,3*pi/2,2*pi},
xticklabels={$0$,$\frac{\pi}{2}$,$\pi$,$\frac{3\pi}{2}$,$2\pi$},
ytick={-1,-0.5,0.5,1},
yticklabels={$-1$,$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$1$},
domain=0:2*pi
]
\addplot[blue,mark=none] {sin(deg(x))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

График функции синуса представляет собой периодическую волну, которая колеблется между значениями -1 и 1. Мы ищем значения \(x\), при которых синус равен \(1/3\).

На графике функции можно заметить, что синус функции равен \(1/3\) на двух интервалах на протяжении одного периода. Для определения продолжительности одного периода функции, мы можем использовать формулу \(2\pi\) (радиан) для функции синус.

Зная, что \(2\pi\) представляет один полный период функции синуса, мы можем определить длину каждого интервала, на котором синус равен \(1/3\). Мы можем использовать следующее равенство:

\[
\sin(x) = \sin(y) \quad \text{если и только если} \quad x = y + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - y + 2\pi k
\]

где \(k\) - любое целое число. Теперь давайте найдем значения нашего интересующего нас интервала.

Первый случай:

\[
\begin{align*}
x &= y + 2\pi k \\
\frac{1}{3} &= \sin(x) \\
\frac{1}{3} &= \sin(y + 2\pi k) \\
\frac{1}{3} &= \sin(y)
\end{align*}
\]

Значение \(y\) должно быть на промежутке между \(-1\) и \(1\). Мы видим, что это выполняется при

\[
\begin{align*}
y &= \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \\
y &= \frac{\pi}{6}
\end{align*}
\]

Теперь мы можем найти значения \(x\) для данного интервала, при условии, что \(x = y + 2\pi k\):

\[
\begin{align*}
x &= y + 2\pi k \\
x &= \frac{\pi}{6} + 2\pi k
\end{align*}
\]

Второй случай:

\[
\begin{align*}
x &= \pi - y + 2\pi k \\
\frac{1}{3} &= \sin(x) \\
\frac{1}{3} &= \sin(\pi - y + 2\pi k) \\
\frac{1}{3} &= \sin(\pi - y)
\end{align*}
\]

Опять же, значение \(y\) должно быть на промежутке между \(-1\) и \(1\). Мы видим, что это выполняется при

\[
\begin{align*}
y &= \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \\
y &= \frac{\pi}{6}
\end{align*}
\]

Теперь можем найти значения \(x\) при условии, что \(x = \pi - y + 2\pi k\):

\[
\begin{align*}
x &= \pi - y + 2\pi k \\
x &= \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \\
x &= \frac{5\pi}{6} + 2\pi k
\end{align*}
\]

Итак, на заданном промежутке у уравнения \(\sin(x) = \frac{1}{3}\) находятся два корня:

\[
\begin{align*}
x_1 &= \frac{\pi}{6} + 2\pi k \\
x_2 &= \frac{5\pi}{6} + 2\pi k
\end{align*}
\]

где \(k\) - любое целое число.