Сколько корней у уравнения tg2x=tgx на интервале [п/2;3п/2]?

Вечный_Герой

29

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти количество корней у уравнения \(\tan^2(x) = \tan(x)\) на интервале от \(\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\).

Для начала заметим, что если \(\tan(x) = 0\), то \(\tan^2(x) = 0\), поэтому \(x = \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\) - это потенциальные корни нашего уравнения.

Однако, мы также должны учесть другие корни, которые не являются нулевыми значениями тангенса. Для этого давайте рассмотрим свойства тангенса.

Тангенс является периодической функцией с периодом \(\pi\), то есть \(\tan(x + \pi) = \tan(x)\) для любого \(x\). Мы также знаем, что \(\tan(\frac{\pi}{2})\) является неопределенным значением.

Теперь рассмотрим наш интервал \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\). Давайте разделим его на два более маленьких интервала: \(\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\) и \(\left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right]\).

В первом интервале, от \(\frac{\pi}{2}\) до \(\pi\), \(\tan(x)\) может принимать любые значения, кроме нуля, так как мы исключили ноль из возможных корней на данном интервале. Поэтому на этом интервале \(\tan^2(x)\) не может быть равно \(\tan(x)\), и у уравнения \(\tan^2(x) = \tan(x)\) нет корней на этом интервале.

Во втором интервале, от \(\pi\) до \(\frac{3\pi}{2}\), мы имеем ту же ситуацию - \(\tan(x)\) может принимать любые значения, кроме нуля, и уравнение \(\tan^2(x) = \tan(x)\) не имеет корней на этом интервале.

Итак, мы приходим к выводу, что на интервале \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\) у уравнения \(\tan^2(x) = \tan(x)\) нет корней.

\[ Ответ: 0 корней у уравнения на интервале \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]. \]