Які рівняння фігур є симетричними відносно: а) початку координат; б) осі ox; в

Murlyka

21

Конечно, я помогу вам разобраться с этими задачами!

а) Чтобы определить, какие уравнения фигур являются симметричными относительно начала координат, нужно проверить, сохраняется ли их форма при замене \(x\) на \(-x\) и \(y\) на \(-y\).

Давайте рассмотрим пример уравнения прямой \(y = mx + b\), где \(m\) - это угловой коэффициент, а \(b\) - смещение по оси \(y\).

При замене \(x\) на \(-x\) и \(y\) на \(-y\) это уравнение превращается в \(-y = m(-x) + b\), что эквивалентно \(y = -mx + b\).

Таким образом, уравнение прямой \(y = mx + b\) будет симметричным относительно начала координат, если оно остается неизменным при замене \(x\) на \(-x\) и \(y\) на \(-y\).

Проверим остальные фигуры.

- Уравнение прямой, параллельной оси \(y\) или \(x\), не будет симметричным относительно начала координат, так как оно изменится при замене знаков у \(x\) и \(y\). Например, уравнение \(x = a\) или \(y = b\).

- Уравнение окружности \(x^2 + y^2 = r^2\) также является симметричным относительно начала координат, так как при замене \(x\) на \(-x\) и \(y\) на \(-y\) оно остается неизменным.

- Уравнение параболы \(y = ax^2 + bx + c\) с вершиной в начале координат будет симметричным относительно начала координат, так как при замене \(x\) на \(-x\) и \(y\) на \(-y\) оно остается неизменным.

- Уравнение гиперболы \(xy = c\) не является симметричным относительно начала координат, так как оно изменится при замене знаков у \(x\) и \(y\).

Таким образом, уравнения, которые являются симметричными относительно начала координат, это:

1) Прямые, проходящие через начало координат: \(y = mx\).
2) Уравнение окружности: \(x^2 + y^2 = r^2\).
3) Уравнение параболы с вершиной в начале координат: \(y = ax^2\).

б) Теперь давайте рассмотрим уравнения фигур, которые являются симметричными относительно оси \(ox\). В таких фигурах \(y\) сохраняет свой знак при замене \(x\) на \(-x\).

- Прямые, параллельные оси \(ox\), такие как \(y = b\), являются симметричными относительно оси \(ox\), так как при замене \(x\) на \(-x\) уравнение остается неизменным.

- Уравнение круга вида \((x-a)^2 + y^2 = r^2\) также является симметричным относительно оси \(ox\), так как \(y\) сохраняет свой знак при замене \(x\) на \(-x\).

- Уравнение эллипса \(x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1\) является симметричным относительно оси \(ox\).

- Уравнение гиперболы \(x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1\) не является симметричным относительно оси \(ox\), так как \(y\) меняет свой знак при замене \(x\) на \(-x\).

Таким образом, уравнения, которые являются симметричными относительно оси \(ox\), это:

1) Прямые, параллельные оси \(ox\): \(y = b\).
2) Уравнение круга: \((x-a)^2 + y^2 = r^2\).
3) Уравнение эллипса: \(x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1\).

Я надеюсь, что я дал достаточно подробный и понятный ответ на вашу задачу!