Сколько красных карандашей из 7 в коробке будет извлечено наугад, если выбрать 3 карандаша? Каково распределение

Сказочный_Факир

34

Давайте решим задачу по порядку.

1. Сначала нам нужно определить, сколько красных карандашей из 7 будет извлечено наугад, если выбираются 3 карандаша. Для этого воспользуемся формулой сочетаний из комбинаторики.
Чтобы количество красных карандашей было определено, необходимо учесть все возможные комбинации, в которых будут выбраны только красные карандаши. Мы можем выбрать 0, 1, 2 или 3 красных карандаша.

- Количество способов выбрать 0 красных карандашей из 7 равно \(C(7,0)\), где \(C(n,k)\) обозначает число сочетаний из n по k. В данном случае, \(C(7,0) = 1\).

- Количество способов выбрать 1 красный карандаш из 7 равно \(C(7,1) = 7\).

- Количество способов выбрать 2 красных карандаша из 7 равно \(C(7,2) = 21\).

- Количество способов выбрать все 3 красных карандаша из 7 равно \(C(7,3) = 35\).

Таким образом, мы получаем следующие возможные значения для случайной величины x (количество извлеченных красных карандашей): 0, 1, 2 и 3.

2. Теперь давайте найдем распределение вероятностей для случайной величины x, которая представляет собой количество извлеченных красных карандашей.
Для этого нам нужно определить вероятность каждого значения.

- Вероятность выбрать 0 красных карандашей равна количеству способов выбрать 0 красных карандашей из 7, деленному на общее количество возможных комбинаций, т.е. \(\frac{C(7,0)}{C(7,3)} = \frac{1}{35}\).

- Вероятность выбрать 1 красный карандаш равна количеству способов выбрать 1 красный карандаш из 7, деленному на общее количество возможных комбинаций, т.е. \(\frac{C(7,1)}{C(7,3)} = \frac{7}{35}\).

- Вероятность выбрать 2 красных карандаша равна количеству способов выбрать 2 красных карандаша из 7, деленному на общее количество возможных комбинаций, т.е. \(\frac{C(7,2)}{C(7,3)} = \frac{21}{35}\).

- Вероятность выбрать 3 красных карандаша равна количеству способов выбрать 3 красных карандаша из 7, деленному на общее количество возможных комбинаций, т.е. \(\frac{C(7,3)}{C(7,3)} = \frac{35}{35} = 1\).

Получаем следующее распределение вероятностей для случайной величины x:

\[
P(x = 0) = \frac{1}{35}, \quad P(x = 1) = \frac{7}{35}, \quad P(x = 2) = \frac{21}{35}, \quad P(x = 3) = 1
\]

3. Теперь найдем интегральную функцию распределения \(F(x)\), которая представляет собой вероятность того, что случайная величина x принимает значение не больше x.
Для нахождения интегральной функции распределения воспользуемся следующей формулой:

\[
F(x) = P(X \leq x) = \sum_{k \leq x} P(x = k)
\]

Для x = 0: \(F(0) = P(x = 0) = \frac{1}{35}\)

Для x = 1: \(F(1) = P(x = 0) + P(x = 1) = \frac{1}{35} + \frac{7}{35} = \frac{8}{35}\)

Для x = 2: \(F(2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) = \frac{1}{35} + \frac{7}{35} + \frac{21}{35} = \frac{29}{35}\)

Для x = 3: \(F(3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) = \frac{1}{35} + \frac{7}{35} + \frac{21}{35} + 1 = \frac{35}{35} = 1\)

Итак, интегральная функция распределения для случайной величины x будет выглядеть следующим образом:

\[
F(x) =
\begin{cases}
0, & \text{если } x < 0 \\
\frac{1}{35}, & \text{если } 0 \leq x < 1 \\
\frac{8}{35}, & \text{если } 1 \leq x < 2 \\
\frac{29}{35}, & \text{если } 2 \leq x < 3 \\
1, & \text{если } x \geq 3 \\
\end{cases}
\]

4. Построим график интегральной функции распределения \(F(x)\).
График будет иметь ступенчатый вид, так как интегральная функция распределения меняется только на определенных значениях x.


5. Теперь найдем математическое ожидание и дисперсию для случайной величины x.
Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины x вычисляется по формуле:

\[
E(x) = \sum_{k} k \cdot P(x = k)
\]

\(E(x) = 0 \cdot \frac{1}{35} + 1 \cdot \frac{7}{35} + 2 \cdot \frac{21}{35} + 3 \cdot 1 = \frac{2}{1}\) (интервал [0, 1])

Дисперсия случайной величины x вычисляется по формуле:

\[
Var(x) = \sum_{k} (k - E(x))^2 \cdot P(x = k)
\]

\(Var(x) = (0 - \frac{2}{1})^2 \cdot \frac{1}{35} + (1 - \frac{2}{1})^2 \cdot \frac{7}{35} + (2 - \frac{2}{1})^2 \cdot \frac{21}{35} + (3 - \frac{2}{1})^2 \cdot 1 = \frac{6}{1}\) (интервал [0, 1])

6. Наконец, давайте найдем вероятность событий \(x < 3\) и \(0 < x\).
Вероятность события \(x < 3\) означает, что случайная величина x меньше 3, т.е. \(P(x < 3) = F(2) = \frac{29}{35}\).

Вероятность события \(0 < x\) означает, что случайная величина x больше 0, т.е. \(P(0 < x) = 1 - P(x = 0) = 1 - \frac{1}{35} = \frac{34}{35}\).

Итак, вероятность события \(x < 3\) равна \(\frac{29}{35}\), а вероятность события \(0 < x\) равна \(\frac{34}{35}\).

Надеюсь, данный обстоятельный ответ помог вам понять задачу и ее решение. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.