Сколько лет маме и дочерям, если сумма возрастов матери и старшей дочери составляет 55 лет, а их возрасты имеют
Сколько лет маме и дочерям, если сумма возрастов матери и старшей дочери составляет 55 лет, а их возрасты имеют одинаковые цифры? Каков будет возраст младшей дочери, если в нем будут те же цифры, что и в возрасте матери через определенное количество лет, равное разнице между возрастами старшей дочери и младшей дочери сейчас?
Гроза_1588 57
Давайте решим данную задачу пошагово.Пусть возраст матери равен \(М\) лет, возраст старшей дочери равен \(Д_1\) лет, а возраст младшей дочери равен \(Д_2\) лет.
У нас есть два условия задачи:
1) Сумма возрастов матери и старшей дочери составляет 55 лет:
\[М + Д_1 = 55.\]
2) Возрасты матери и старшей дочери имеют одинаковые цифры.
Чтобы найти возрасты матери и дочерей, рассмотрим возможные комбинации возрастов, удовлетворяющие условиям задачи.
Мы можем представить возрасты в виде двузначных чисел:
\[М = 10 \cdot М_1 + М_2,\]
\[Д_1 = 10 \cdot Д_{11} + Д_{12},\]
\[Д_2 = 10 \cdot Д_{21} + Д_{22}.\]
Здесь \(М_1\) и \(М_2\) - цифры возраста матери, \(Д_{11}\) и \(Д_{12}\) - цифры возраста старшей дочери, \(Д_{21}\) и \(Д_{22}\) - цифры возраста младшей дочери.
Теперь мы можем записать условия задачи в виде уравнений:
1) Сумма возрастов матери и старшей дочери составляет 55 лет:
\[10 \cdot М_1 + М_2 + 10 \cdot Д_{11} + Д_{12} = 55.\]
2) Возрасты матери и старшей дочери имеют одинаковые цифры:
\[М_1 = Д_{11},\]
\[М_2 = Д_{12}.\]
Теперь мы можем решить эту систему уравнений.
Из условия 2 следует, что \(М_1\) равно \(Д_{11}\), а \(М_2\) равно \(Д_{12}\).
Тогда уравнение 1 принимает следующий вид:
\[10 \cdot М_1 + М_2 + 10 \cdot М_1 + Д_{12} = 55.\]
Упрощая это уравнение, получаем:
\[20 \cdot М_1 + 2 \cdot М_2 + Д_{12} = 55.\]
Теперь нам нужно рассмотреть все возможные значения для цифр \(М_1\), \(М_2\) и \(Д_{12}\) от 0 до 9 и проверить, существуют ли такие значения, при которых уравнение имеет решение.
После проверки всех значений, мы обнаружим, что если \(М_1 = 3\), \(М_2 = 7\) и \(Д_{12} = 1\), то уравнение выполняется:
\[20 \cdot 3 + 2 \cdot 7 + 1 = 55.\]
Таким образом, возраст матери составляет 37 лет, а возраст старшей дочери - 31 год.
Найдем возраст младшей дочери через некоторое количество лет, равное разнице между возрастами старшей и младшей дочери сейчас, то есть \(Д_1 - Д_2 = 31 - Д_2\) лет.
По условию задачи, возраст младшей дочери будет содержать те же цифры, что и возраст матери через это количество лет.
То есть, возраст младшей дочери также будет 37 лет.
Значит, возраст младшей дочери составляет 37 лет.