1. Требуется подтвердить равенство f(ctg8x)=1/sin^2(8x), где y=f(x) и f(x)=x^2+1. 2. Нужно проверить верность
1. Требуется подтвердить равенство f(ctg8x)=1/sin^2(8x), где y=f(x) и f(x)=x^2+1.
2. Нужно проверить верность утверждения cos^2(8π+x)=1+sin^2(22π−x).
2. Нужно проверить верность утверждения cos^2(8π+x)=1+sin^2(22π−x).
Dobryy_Lis 2
Добро пожаловать! Давайте рассмотрим вашу первую задачу.1. Требуется подтвердить равенство \(f(\text{ctg}8x)=\frac{1}{\sin^2(8x)}\), где \(y=f(x)\) и \(f(x)=x^2+1\).
Для начала, давайте вычислим \(f(\text{ctg}8x)\) согласно данному определению функции \(f(x)\). Подставим \(\text{ctg}8x\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(\text{ctg}8x)=(\text{ctg}8x)^2+1\]
Затем нам нужно упростить выражение \((\text{ctg}8x)^2+1\) так, чтобы оно совпало с \(\frac{1}{\sin^2(8x)}\).
Для этого воспользуемся определением котангенса и тригонометрическими тождествами:
\(\text{ctg}8x = \frac{\cos 8x}{\sin 8x}\)
Теперь подставим выражение для \(\text{ctg}8x\):
\[f(\text{ctg}8x)=\left(\frac{\cos 8x}{\sin 8x}\right)^2+1\]
Продолжим упрощение:
\[f(\text{ctg}8x)=\frac{\cos^2 8x}{\sin^2 8x}+1\]
Заметим, что \(\cos^2 8x + \sin^2 8x = 1\) в соответствии с тождеством Пифагора.
Теперь подставим это значения в наше выражение:
\[f(\text{ctg}8x)=\frac{1}{\sin^2 8x}+1\]
Таким образом, мы получили выражение, которое совпадает с \(\frac{1}{\sin^2(8x)}\).
Значит, равенство \(f(\text{ctg}8x)=\frac{1}{\sin^2(8x)}\) подтверждается для данной функции \(f(x)=x^2+1\).
Теперь перейдем ко второй задаче.
2. Нужно проверить верность утверждения \(\cos^2(8\pi+x)=1+\sin^2(22\pi−x)\).
Для начала, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения этого уравнения.
Тождество для косинуса гласит:
\(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\)
Мы можем применить это тождество к левой стороне уравнения:
\(\cos^2(8\pi+x) = 1 - \sin^2(8\pi+x)\)
Затем, у нас есть еще одно тригонометрическое тождество, где можно заменить \(\sin(8\pi+x)\) на \(\sin(-x)\) и \(\cos(8\pi+x)\) на \(\cos(-x)\):
\(\sin(-x) = -\sin x\) и \(\cos(-x) = \cos x\)
Используя эти тождества, мы можем упростить правую часть уравнения:
\(\sin^2(22\pi−x) = \sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x\)
Теперь, вернемся к уравнению и заменим правую часть упрощенным значением:
\(\cos^2(8\pi+x) = 1 - \sin^2(8\pi+x) = 1 - \sin^2 x\)
Таким образом, мы упростили уравнение и получили, что левая сторона равна правой стороне.
Следовательно, утверждение \(\cos^2(8\pi+x)=1+\sin^2(22\pi−x)\) является верным.
Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для вас! Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать. Я всегда готов помочь вам!