Сколько лет нужно, чтобы население города увеличилось не менее

Iskryaschiysya_Paren

69

Для решения этой задачи нам необходимо знать три величины: начальное население города, ежегодный прирост населения и желаемое увеличение населения города.

Пусть \( P_0 \) - начальное население города (в текущем году),
\( r \) - ежегодный прирост населения (в процентах) и
\( N \) - желаемое увеличение населения города (в процентах).

Мы можем использовать формулу экспоненциального роста для нахождения времени, необходимого для достижения заданного увеличения населения города:

\[ P = P_0 \times (1 + \frac{r}{100})^t \]

Где \( P \) - предполагаемое будущее население города и \( t \) - количество лет.

Теперь, чтобы решить задачу:

1. Найдите отношение желаемого увеличения населения к 100: \( \frac{N}{100} \).

2. Используя это отношение, найдите будущее население \( P \) при заданном увеличении населения: \( P = P_0 + P_0 \times \frac{N}{100} \).

3. Решите уравнение для времени \( t \):

\[ P = P_0 \times (1 + \frac{r}{100})^t \]

зная значения \( P \), \( P_0 \) и \( r \).

4. Решите уравнение для \( t \). Обратите внимание, что это уравнение может быть решено с помощью логарифмов.

Давайте рассмотрим конкретный пример для более ясного понимания:

Пусть начальное население города \( P_0 = 1000 \) (1000 человек),
ежегодный прирост населения \( r = 2 \ \% \) и
желаемое увеличение населения \( N = 50 \ \% \).

Шаг 1: Найдем \( P \):

\[ P = P_0 + P_0 \times \frac{N}{100} = 1000 + 1000 \times \frac{50}{100} = 1000 + 500 = 1500 \]

Шаг 2: Решим уравнение времени \( t \):

\[ 1500 = 1000 \times (1 + \frac{2}{100})^t \]

\[ 1.5 = (1.02)^t \]

\[ \log(1.5) = \log((1.02)^t) \]

\[ \log(1.5) = t \times \log(1.02) \]

\[ t = \frac{\log(1.5)}{\log(1.02)} \]

Здесь вы можете использовать калькулятор для нахождения значения \( t \).

Итак, школьникам понадобится приблизительно \( t \approx 18.13 \) лет, чтобы население города увеличилось не менее чем на 50 процентов при заданных условиях начального населения и ежегодного прироста населения.

Надеюсь, этот ответ будет полезен для понимания задачи и способов ее решения!