Сколько максимально девочек может быть в классе, если известно, что у никаких двух девочек количество мальчиков-друзей

Barsik

36

Давайте разберемся в этой задаче.

Мы знаем, что в классе 21 ученик. Обозначим количество девочек как \(x\) и количество мальчиков как \(y\).
Таким образом, у нас есть два условия: первое условие - все девочки должны иметь различное количество мальчиков-друзей, и второе условие - общее количество учеников в классе должно быть равно 21.
Мы можем записать эти условия в виде уравнений:

1) У каждой девочки должно быть различное количество мальчиков-друзей:
\[ x \neq y, \, \forall x, y \]

2) Общее количество учеников в классе:
\[ x + y = 21 \]

Теперь решим эту систему уравнений. Заметим, что если мы знаем, сколько есть девочек в классе, то мы можем найти количество мальчиков. И наоборот, если мы знаем количество мальчиков, мы можем найти количество девочек. Таким образом, решая второе уравнение относительно одной переменной, мы можем найти значение другой переменной.

Например, решим систему уравнений относительно \(x\):
\[ x + y = 21 \]
\[ x \neq y \]

Отнимем второе уравнение от первого:
\[ x + y - (x \neq y) = 21 - 0 \]
\[ x + y - 1 = 21 \]

Теперь мы можем найти значение \(x\):
\[ x = 21 - y + 1 \]
\[ x = 22 - y \]

Теперь мы можем проанализировать возможные значения для \(x\) и \(y\).
Мы хотели найти максимальное возможное количество девочек в классе, поэтому нам нужно найти максимальное значение для \(x\). Обратите внимание, что \(x\) не может быть больше 21, так как в классе всего 21 ученик.

Поэтому, давайте приведем таблицу возможных значений переменных \(x\) и \(y\) при условии, что \(x\) не должно быть больше 21:
\[
\begin{align*}
x & : 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & 19 & 20 & 21 \\
y & : 21 & 20 & 19 & 18 & \ldots & 2 & 3 & 4
\end{align*}
\]

Мы видим, что при \(x = 21\) у нас получается \(y = 4\), а при \(x = 20\) у нас получается \(y = 3\). Но при этих значениях мы не можем утверждать, что у каждой девочки различное количество мальчиков-друзей.

Таким образом, максимально возможное количество девочек в классе будет 19, а количество мальчиков будет 2.
Ответ: В классе может быть максимально 19 девочек, если каждая из них имеет различное количество мальчиков-друзей.