Сколько натуральных чисел от 1 до 2016 можно выразить как сумму двух последовательных натуральных чисел и как сумму
Сколько натуральных чисел от 1 до 2016 можно выразить как сумму двух последовательных натуральных чисел и как сумму пяти последовательных натуральных чисел? (Например, 25 можно записать как 12 + 13 или как 3 + 4 + 5 + 6 + 7.)
Лёля 65
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод анализа и перебора.1) Сначала рассмотрим выражение числа как сумму двух последовательных натуральных чисел:
Пусть первое натуральное число будет k. Тогда второе натуральное число будет k+1.
Таким образом, мы можем записать исходное число как сумму k и k+1.
\( k + (k+1) = 2k+1 \)
Мы хотим найти, сколько таких натуральных чисел от 1 до 2016 можно представить в виде суммы двух последовательных натуральных чисел. Для этого нам нужно найти количество значений, которые может принимать k.
Максимальное значение первого числа (k) будет равно половине числа 2016:
\( k \leq \frac{2016}{2} \) или \( k \leq 1008 \)
Таким образом, имеется 1008 возможных значений k.
2) Теперь рассмотрим выражение числа как сумму пяти последовательных натуральных чисел:
Пусть первое натуральное число будет m. Тогда второе натуральное число будет m+1, третье число m+2, четвертое число m+3 и пятое число m+4.
Таким образом, мы можем записать исходное число как сумму m, m+1, m+2, m+3 и m+4.
\( m + (m+1) + (m+2) + (m+3) + (m+4) = 5m + 10 \)
Мы хотим найти, сколько таких натуральных чисел от 1 до 2016 можно представить в виде суммы пяти последовательных натуральных чисел. Для этого нам нужно найти количество значений, которые может принимать m.
Максимальное значение первого числа (m) будет равно числу 2016 минус 4 (чтобы учесть все следующие числа):
\( m \leq 2016 - 4 \) или \( m \leq 2012 \)
Таким образом, имеется 2012 возможных значений m.
В итоге, мы можем представить 1008 натуральных чисел от 1 до 2016 в виде суммы двух последовательных натуральных чисел и 2012 натуральных чисел от 1 до 2016 в виде суммы пяти последовательных натуральных чисел.