Сколько пар отрезков с концами в выбранных Васей точках он может составить так, чтобы их концы не пересекались?

Тимофей

23

Чтобы решить данную задачу, нужно понять, какие правила надо учесть при составлении пар отрезков.

Давайте представим, что у Васи есть некоторое количество точек на прямой, и он хочет составить пары отрезков так, чтобы концы этих отрезков не пересекались. Перед тем, как приступить к решению, мы можем сделать несколько наблюдений:

1) Каждый отрезок имеет два конца. Поэтому, если Вася выбрал n точек, то у него будет 2n концов отрезков.
2) Отрезки должны иметь разные концы. В противном случае, два отрезка с одинаковыми концами будут пересекаться.
3) Каждый отрезок в паре должен иметь разные концы. Если концы отрезка совпадают, то это будет одиночный отрезок, и он не будет входить в пары.

Теперь, когда мы учли все эти наблюдения, рассмотрим дальнейшее решение задачи.

Пусть Вася выбрал n точек. Как мы уже упоминали, у Васи будет 2n концов отрезков. Для первого конца можно выбрать любую точку из n точек, значит, имеем n возможных вариантов. Для второго конца остаются n-1 точек (поскольку мы должны выбрать разные концы отрезка). Итого для первой пары отрезков у нас будет n * (n-1) вариантов выбора концов.

Когда первая пара отрезков выбрана, у Васи остается 2n-2 конца отрезков. Для выбора второй пары у нас будет n-2 точек для первого конца (поскольку мы уже использовали две точки в первой паре) и n-3 точки для второго конца (поскольку одна точка из оставшихся уже использована в первой паре). Таким образом, для второй пары отрезков будет (n-2) * (n-3) вариантов выбора концов.

Мы можем продолжить этот процесс до тех пор, пока у нас не останется недостаточно концов отрезков для составления новой пары. Количество пар отрезков, которые Вася может составить без пересечения концов, будет равно сумме всех возможных вариантов выбора концов для каждой пары отрезков.

Таким образом, общее количество пар отрезков будет равно:

\[n*(n-1) + (n-2)*(n-3) + ... + 2*1 \]

Мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии, чтобы упростить эту сумму:

\[S = \frac{n * (n-1)}{2}\]

Ответ на задачу составляет \(S\) пар отрезков.

Это подробное и пошаговое решение задачи, которое поможет школьнику понять, какая логика используется при составлении пар отрезков без пересечения концов.