Сколько нулей имеется в числе 4^590 + 8^350 – 2^1020, если эти нули стоят на значащих местах в двоичной записи числа?

Son

31

Давайте посмотрим на каждое слагаемое отдельно и определим, сколько нулей стоит на значащих местах в двоичной записи каждого числа.

Сначала рассмотрим число \(4^{590}\). Чтобы найти двоичную запись этого числа, нам нужно разложить 590 на сумму степеней двойки. Мы знаем, что каждая степень двойки имеет вид \(2^n\), где \(n\) - натуральное число. Найдя такие степени, мы можем записать число \(4^{590}\) как произведение степеней двойки, то есть как \(2^{n_1} \cdot 2^{n_2} \cdot \ldots \cdot 2^{n_k}\). Это позволит нам записать число \(4^{590}\) в двоичной системе счисления.

Для нахождения степеней двойки нам нужно разложить 590 на сумму степеней двойки. Начнем с наибольшей степени двойки, которая меньше 590. Так как \(2^9 = 512\) и \(2^{10} = 1024\), мы будем использовать \(2^9\) в нашем разложении. Разделим 590 на 512:

\[
590 \div 512 = 1 \text{ (остаток 78)}
\]

Сейчас у нас остаток 78, и мы должны повторить процесс с оставшейся частью. Далее, мы будем использовать \(2^6\), так как \(2^7 = 128\) больше, чем 78, и \(2^6 = 64\) меньше, чем 78. Разделим остаток 78 на 64:

\[
78 \div 64 = 1 \text{ (остаток 14)}
\]

Продолжим процесс. Сейчас у нас остаток 14, и мы будем использовать \(2^3\), так как \(2^4 = 16\) больше, чем 14, и \(2^3 = 8\) меньше, чем 14. Разделим остаток 14 на 8:

\[
14 \div 8 = 1 \text{ (остаток 6)}
\]

Итак, мы разложили 590 на сумму степеней двойки:

\[
590 = 2^9 + 2^6 + 2^3 + 2^1
\]

Теперь, используя множество заключений, мы можем записать число \(4^{590}\) в двоичной системе счисления:

\[
4^{590} = 2^{2 \cdot 590} = 2^{9 + 6 + 3 + 1}
\]

Затем приступаем к рассмотрению второго слагаемого: \(8^{350}\). Поскольку \(8 = 2^3\), мы можем записать это число как \(2^{3 \cdot 350}\).

И наконец, рассмотрим последнее слагаемое: \(2^{1020}\).

Теперь добавим все слагаемые вместе:

\[
4^{590} + 8^{350} - 2^{1020} = 2^{9 + 6 + 3 + 1} + 2^{3 \cdot 350} - 2^{1020}
\]

Для нахождения количества нулей на значимых позициях при переводе получившегося числа в двоичную систему, нам нужно исследовать каждое слагаемое отдельно.