Сколько очков набрал каждый из участников второго турнира в шахматном клубе, где были организованы два турнира?

Yaksha

28

Хорошо, разберемся с этой задачей.

По условию, в первом турнире играли 4 шахматиста, а во втором - 6 шахматистов. Каждый игрок сыграл по одной партии с каждым из остальных участников своего турнира.

Чтобы определить, сколько очков набрал каждый из участников второго турнира, нам необходимо знать, сколько очков набрал победитель первого турнира.

В первом турнире участвовало 4 шахматиста. По условию задачи мы знаем, что победитель первого турнира набрал столько же очков, сколько и победитель второго турнира. То есть, победитель первого турнира набрал определенное количество очков, которое мы обозначим \(x\).

За выигрыш дают 1 очко, за ничью - 0,5, а за проигрыш - 0 очков. Значит, победитель первого турнира заработал \(x\) очков.

Так как каждый игрок сыграл по одной партии с каждым из остальных участников своего турнира, то сумма очков всех участников в первом турнире будет равна количеству партий, сыгранных в турнире. Всего партий в первом турнире было \(\displaystyle \binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = 6\).

То есть, сумма очков всех участников первого турнира равна 6.

Так как победитель первого турнира заработал \(x\) очков, то остальные 3 участника в сумме заработали \(6 - x\) очков.

Теперь перейдем ко второму турниру. Во втором турнире участвовало 6 шахматистов, но нам известно, что два турнира вместе являются одним большим турниром. Значит, сумма очков всех участников первого и второго турниров должна быть одинакова.

Так как в первом турнире победитель набрал \(x\) очков, а остальные 3 участника в сумме набрали \(6 - x\) очков, то сумма очков всех участников первого турнира равна сумме очков всех участников второго турнира:

\(x + (6 - x) = 6\).

Просуммируем эту выражение:

\(x + 6 - x = 6\).

Поскольку \(x\) положительный и отрицательный слагаемые в левой части уравнения сокращаются, то \(6 = 6\). Это значит, что данное уравнение верно для любого значения \(x\).

Таким образом, очки участников второго турнира будут следующими:

"Победитель второго турнира": \(x\) очков
"Участник 2 второго турнира": \(6 - x\) очков
"Участник 3 второго турнира": \(6 - x\) очков
"Участник 4 второго турнира": \(6 - x\) очков
"Участник 5 второго турнира": \(6 - x\) очков
"Участник 6 второго турнира": \(6 - x\) очков

Итак, каждый из участников второго турнира набрал \(x\) очков, кроме победителя, который набрал \(x\) очков.