Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место, если за победу команда получала 2 очка, за поражение очки

Белочка_8295

13

Пусть общее количество команд равно \(n\).
Согласно подсказке из учебника, общее количество игр равно \(0.5n(n-1)\), а общее количество очков, набранных всеми командами, равно \(n(n-1)\).
Здесь мы знаем, что за победу команда получает 2 очка, за поражение не начисляются очки, а ничьих не было.

Давайте посмотрим на количество побед и поражений:
- В каждой игре одна команда побеждает, поэтому всего побед будет такое же количество, как и сыгранных игр, т.е. \(0.5n(n-1)\).
- Поскольку не было ничьих, количество поражений будет таким же, как и количество побед.

Теперь, чтобы найти количество очков, которое набрала последняя команда, нам нужно знать сумму очков всех команд.

Для этого мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:
\[S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\]
где:
\(S\) - сумма всех очков,
\(a\) - первый член прогрессии,
\(d\) - разность прогрессии,
\(n\) - количество команд.

В нашем случае первый член прогрессии \(a\) равен 2 очкам (за победу), а разность прогрессии \(d\) будет равна 0 очкам (так как за поражение не начисляются очки).

Теперь мы можем записать формулу для суммы очков:
\[n(n-1) = \frac{n}{2}(2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 0)\]
Упростим это выражение:
\[n(n-1) = n \cdot 4\]
\[n^2 - n = 4n\]
\[n^2 - 5n = 0\]
\[n(n-5) = 0\]

Отсюда мы видим, что \(n = 0\) или \(n = 5\). Количество команд не может быть равным нулю, поэтому \(n = 5\).

Теперь, чтобы найти количество очков, набранных последней командой (\(x\)), мы можем подставить полученное значение \(n\) в уравнение:
\[n(n-1) = x\]
\[5 \cdot 4 = x\]
\[20 = x\]

Таким образом, последняя команда набрала 20 очков.