Сколько отскоков мячика от асфальта потребуется, чтобы его высота стала меньше?

Скоростная_Бабочка

41

Давайте рассмотрим эту задачу более подробно.

Предположим, у нас есть мячик, который бросается с высоты \( h_0 \) метров над асфальтом. После каждого отскока мячика от асфальта, его высота уменьшается в определенное количество раз. Обозначим это количество раз \( k \).

Мы хотим найти количество отскоков мячика от асфальта, чтобы его высота стала меньше определенной величины \( h \) метров.

Каждый отскок мячика можно представить как последовательность уменьшения высоты мячика на коэффициент \( k \):

\[ h_1 = k \cdot h_0 \]
\[ h_2 = k \cdot h_1 = k \cdot (k \cdot h_0) = k^2 \cdot h_0 \]
\[ h_3 = k \cdot h_2 = k \cdot (k^2 \cdot h_0) = k^3 \cdot h_0 \]

Таким образом, общая формула для \( n \)-го отскока будет выглядеть следующим образом:

\[ h_n = k^n \cdot h_0 \]

Используя эту формулу, мы можем определить количество отскоков \( n \), после которого высота мячика станет меньше заданной величины \( h \). Для этого нужно решить уравнение:

\[ h_n = k^n \cdot h_0 < h \]

Для простоты, давайте решим это уравнение, принимая \( k = \frac{1}{2} \), что означает, что высота мячика будет уменьшаться в два раза после каждого отскока. Мы можем выбрать любое другое значение для \( k \), в зависимости от конкретной задачи.

Таким образом, уравнение примет вид:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^n \cdot h_0 < h \]

Давайте решим его по шагам:

1. Выразим \( n \) через \( h_0 \) и \( h \):
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^n \cdot h_0 < h \]
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{h}{h_0} \]

2. Применим логарифмирование с основанием 2 ко всему уравнению:
\[ n \cdot \log_2\left(\frac{1}{2}\right) < \log_2\left(\frac{h}{h_0}\right) \]

3. Заменим \(\log_2\left(\frac{1}{2}\right)\) на \(-1\):
\[ -n < \log_2\left(\frac{h}{h_0}\right) \]

4. Перенесем переменную \( n \) на одну сторону, а все остальные значения на другую сторону:
\[ n > -\log_2\left(\frac{h}{h_0}\right) \]

5. Выполним округление \( n \) до ближайшего целого числа, так как количество отскоков должно быть целым числом:
\[ n = \lceil -\log_2\left(\frac{h}{h_0}\right) \rceil \]

Таким образом, мы получили формулу для определения количества отскоков мячика от асфальта, чтобы его высота стала меньше заданной величины \( h \):

\[ n = \lceil -\log_2\left(\frac{h}{h_0}\right) \rceil \]

Мы использовали предположение о коэффициенте \( k = \frac{1}{2} \), но вы можете выбрать любое другое значение для \( k \), в зависимости от конкретной задачи. Убедитесь, что значения \( h_0 \) и \( h \) измерены в одних и тех же единицах (например, в метрах), чтобы формула корректно работала.