Сколько прибыли ожидает получить фермер в текущем году, если он вложит 9,6 миллионов денежных единиц в различные
Сколько прибыли ожидает получить фермер в текущем году, если он вложит 9,6 миллионов денежных единиц в различные секторы своего бизнеса? В прошлом году он вложил всего 5 миллионов денежных единиц и получил 0,388 миллиона денежных единиц прибыли. В текущем году фермер собирается увеличить вложения в животноводство в 3 раза, в овощеводство в 2 раза, а в землеводство оставить на прежнем уровне. При этом, зерноводство приносит 5% прибыли на вложенные средства, овощеводство - 8%, а животноводство - 11%. Определите прибыль фермера в текущем году, используя формулу Крамера.
Galina 24
Для решения данной задачи воспользуемся формулой Крамера для решения системы линейных уравнений.Пусть \(х_1\) - вложения фермера в зерноводство в текущем году, \(х_2\) - вложения фермера в овощеводство в текущем году, а \(х_3\) - вложения фермера в животноводство в текущем году.
Используя условия задачи, составим следующую систему уравнений:
\[\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 9.6 \\ 0.05x_1 + 0.08x_2 + 0.11x_3 = y \end{cases}\]
Где \(y\) - прибыль фермера в текущем году.
Теперь решим данную систему уравнений методом Крамера.
Для начала найдём определитель основной системы:
\[D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0.05 & 0.08 & 0.11 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0.08 - 1 \cdot 0.11 - 1 \cdot 0.05 - 0.08 \cdot 1 - 0.11 \cdot 1 + 0.05 \cdot 1 = -0.02\]
Заметим, что определитель основной системы не равен нулю, следовательно, система совместна и имеет единственное решение. Вычислим определители системы при замене столбцов на свободные члены:
\[D_1 = \begin{vmatrix} 9.6 & 1 & 1 \\ 0.388 & 0.08 & 0.11 \end{vmatrix} = 9.6 \cdot 0.08 - 1 \cdot 0.11 - 1 \cdot 0.388 - 0.08 \cdot 1 - 0.11 \cdot 9.6 + 0.388 \cdot 1 \approx 0.9172\]
\[D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 9.6 & 1 \\ 0.05 & 0.388 & 0.11 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0.388 - 1 \cdot 0.11 - 9.6 \cdot 0.05 - 0.388 \cdot 1 - 0.11 \cdot 1 + 9.6 \cdot 0.05 \approx -0.6782\]
\[D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 9.6 \\ 0.05 & 0.08 & 0.388 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0.08 - 9.6 \cdot 0.388 - 1 \cdot 0.05 - 0.08 \cdot 1 - 0.388 \cdot 1 + 0.05 \cdot 9.6 \approx 0.2916\]
Теперь найдём значения переменных, используя формулу Крамера:
\[x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{0.9172}{-0.02} \approx -45.86\]
\[x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{-0.6782}{-0.02} \approx 33.91\]
\[x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{0.2916}{-0.02} \approx -14.58\]
Таким образом, фермер должен вложить приблизительно -45.86 млн денежных единиц в зерноводство, 33.91 млн денежных единиц в овощеводство и -14.58 млн денежных единиц в животноводство.
Определим прибыль фермера в текущем году:
\[y = 0.05x_1 + 0.08x_2 + 0.11x_3 = 0.05 \cdot (-45.86) + 0.08 \cdot 33.91 + 0.11 \cdot (-14.58) \approx -0.1965\]
Таким образом, фермер ожидает получить приблизительно -0.1965 млн денежных единиц прибыли в текущем году. Отрицательное значение говорит о том, что фермер ожидает убытки.