Сколько программистов, аналитиков и инженеров можно выбрать для сверхурочной работы в праздничный день

Светлячок_В_Ночи

65

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать комбинаторику, а именно мультиномиальные коэффициенты.

Мультиномиальные коэффициенты позволяют нам определить количество способов выбора комбинаций объектов из нескольких наборов, где порядок выбора не имеет значения.

В данной задаче у нас есть 3 набора: программисты, аналитики и инженеры. Мы также должны учесть, что мы выбираем людей для сверхурочной работы в праздничный день. Порядок выбора не имеет значения, так что мы должны использовать мультиномиальные коэффициенты.

Мультиномиальный коэффициент определяется следующей формулой:

\[
\binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_m!}
\]

где \(n\) - общая сумма объектов, \(k_1, k_2, \ldots, k_m\) - количество объектов в каждом наборе.

В данной задаче нам нужно найти количество способов выбрать комбинации для сверхурочной работы. У нас есть 9 программистов, 6 аналитиков и 5 инженеров. Обозначим их, соответственно, \(n_1 = 9\) (программисты), \(n_2 = 6\) (аналитики) и \(n_3 = 5\) (инженеры). Мы должны выбрать любое количество программистов, аналитиков и инженеров.

Таким образом, мы можем использовать мультиномиальные коэффициенты, подставив значения в формулу:

\[
\binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_m!}
\]

где \(n = 9 + 6 + 5 = 20\) (общее количество людей).

Теперь нам нужно найти количество способов выбрать комбинации. Поскольку мы можем выбрать любое количество программистов, аналитиков и инженеров, мы должны рассмотреть все возможные комбинации:

\[
\sum_{k_1=0}^{9} \sum_{k_2=0}^{6} \sum_{k_3=0}^{5} \binom{20}{k_1, k_2, k_3}
\]

Теперь давайте рассчитаем количество способов выбрать комбинацию.

\[
\sum_{k_1=0}^{9} \sum_{k_2=0}^{6} \sum_{k_3=0}^{5} \binom{20}{k_1, k_2, k_3} = \binom{20}{0, 0, 0} + \binom{20}{0, 0, 1} + \ldots + \binom{20}{9, 6, 5}
\]

Произведем все необходимые вычисления, чтобы найти эту сумму.

\[
\sum_{k_1=0}^{9} \sum_{k_2=0}^{6} \sum_{k_3=0}^{5} \binom{20}{k_1, k_2, k_3} = 1 + 20 + \ldots + 22132280
\]