Сколько прямых проходят через разные пары из 28 точек, при условии, что три из них не лежат на одной прямой?

Skorostnaya_Babochka

20

Чтобы решить эту задачу, применим комбинаторный метод. У нас есть 28 точек, и нам нужно найти количество прямых, проходящих через разные пары этих точек. При этом условии также требуется, чтобы три точки не лежали на одной прямой.

Для начала, рассмотрим количество прямых, проходящих через каждую отдельную точку. Так как прямая проходит через каждую пару точек, это количество будет равно 27 для каждой из 28 точек.

Однако, в задаче необходимо исключить случай, когда три точки лежат на одной прямой. Для этого, найдем количество прямых, проходящих через каждую тройку точек. По условию трех точек не лежат на одной прямой, поэтому имеем 0 прямых, проходящих через каждую из троек.

Теперь мы можем найти общее количество прямых, проходящих через разные пары из 28 точек, которое будем обозначать как "К". Это можно сделать с помощью комбинаторной формулы:

\[ K = \binom{28}{2} \]

Где \(\binom{28}{2}\) представляет собой число сочетаний по 2 из 28, и вычисляется следующим образом:

\[ \binom{28}{2} = \frac{28!}{2!(28-2)!} \]

Вычисляя это выражение, получаем:

\[ K = \frac{28!}{2!26!} = \frac{28 \cdot 27}{2} = 378 \]

Таким образом, через разные пары из 28 точек проходят 378 прямых, учитывая условие задачи.

Можно также представить это решение в форме пошагового решения:

Шаг 1: Найдите количество прямых, проходящих через каждую отдельную точку.
Шаг 2: Найдите количество прямых, проходящих через каждую тройку точек.
Шаг 3: Исключите количество прямых, проходящих через тройки точек.
Шаг 4: Найдите общее количество прямых, проходящих через разные пары из 28 точек, используя комбинаторную формулу.

Это подробное решение должно помочь школьнику понять, как получить ответ и почему он верный.