Какие функции возрастают на интервале (0;+бесконечность) среди функций f(x) = 2 sin 4 x; g(x)=-12x+5; h(x) =7x^4-98

Yantarka_2315

21

Чтобы определить, какие функции возрастают на интервале \((0; +\infty)\), мы должны проанализировать их производные. Если производная положительна на данном интервале, то функция возрастает. Давайте посмотрим на каждую функцию.

1. Функция \(f(x) = 2 \sin (4x)\):

Для этой функции мы должны вычислить ее производную.
Производная функции \(f(x)\) равна \(f"(x) = 2 \cdot 4 \cdot \cos (4x)\).

Теперь проверим знак производной на интервале \((0; +\infty)\).
В точках, где \(\cos (4x) > 0\), значение производной положительно, и функция возрастает.
В точках, где \(\cos (4x) < 0\), значение производной отрицательно, и функция убывает.

Исследуем знак \(\cos (4x)\).
\(\cos (4x)\) является периодической функцией с периодом \(\frac{\pi}{2}\).

На интервале \((0; +\infty)\), когда \(x\) увеличивается, синус возрастает от 0 до 1, затем убывает от 1 до 0, затем снова возрастает.
Таким образом, \(\cos (4x)\) положителен, когда \(x\) принадлежит интервалу \((0; \frac{\pi}{8})\), \((\frac{3\pi}{8}; \frac{5\pi}{8})\), \((\frac{7\pi}{8}; \frac{9\pi}{8})\) и так далее.

Следовательно, на интервале \((0; +\infty)\) функция \(f(x) = 2 \sin (4x)\) возрастает на \((0; \frac{\pi}{8})\), \((\frac{3\pi}{8}; \frac{5\pi}{8})\), \((\frac{7\pi}{8}; \frac{9\pi}{8})\) и так далее.

2. Функция \(g(x) = -12x + 5\):

Для этой функции производная является константой, равной -12.
Это означает, что производная всегда отрицательна, а значит функция \(g(x)\) всегда убывает на интервале \((0; +\infty)\).

3. Функция \(h(x) = 7x^4 - 98\):

Для этой функции мы должны вычислить ее производную.
Производная функции \(h(x)\) равна \(h"(x) = 28x^3\).

Производная является положительной для положительных значений \(x\) и отрицательной для отрицательных значений \(x\).
Таким образом, функция \(h(x) = 7x^4 - 98\) возрастает на интервале \((0; +\infty)\).

4. Функция \(s(x) = x^3 - 5x\):

Для этой функции мы должны вычислить ее производную.
Производная функции \(s(x)\) равна \(s"(x) = 3x^2 - 5\).

Чтобы найти значения \(x\), для которых \(s"(x) > 0\) или \(s"(x) < 0\), мы должны решить уравнение \(3x^2 - 5 = 0\).

Решение этого уравнения даёт нам \(x = -\frac{\sqrt{15}}{3}\) и \(x = \frac{\sqrt{15}}{3}\).

Теперь, чтобы определить знак производной на интервале \((0; +\infty)\), мы используем тест предельности.
Выбираем значения \(x\) из каждого отрезка интервала \((0; +\infty)\) и проверяем их в производной.

Когда \(x < -\frac{\sqrt{15}}{3}\), производная отрицательна.
Когда \(-\frac{\sqrt{15}}{3} < x < \frac{\sqrt{15}}{3}\), производная положительна.
Когда \(x > \frac{\sqrt{15}}{3}\), производная снова отрицательна.

Таким образом, на интервале \((0; +\infty)\) функция \(s(x) = x^3 - 5x\) возрастает на \((- \infty; -\frac{\sqrt{15}}{3})\) и \((\frac{\sqrt{15}}{3}; +\infty)\).

Итак, функция \(f(x) = 2 \sin (4x)\) возрастает на \((0; \frac{\pi}{8})\), \((\frac{3\pi}{8}; \frac{5\pi}{8})\), \((\frac{7\pi}{8}; \frac{9\pi}{8})\) и так далее, функция \(g(x) = -12x+5\) убывает на всем интервале \((0; +\infty)\), функция \(h(x) = 7x^4-98\) возрастает на \((0; +\infty)\), а функция \(s(x) = x^3-5x\) возрастает на \((- \infty; -\frac{\sqrt{15}}{3})\) и \((\frac{\sqrt{15}}{3}; +\infty)\).