Сколько пятизначных чисел, которые являются кратными 60, имеют сумму цифр, которая не превышает

Мурлыка

46

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться знаниями о кратности чисел и о свойствах суммы цифр.

Дано, что число должно быть пятизначным и кратным 60.

Прежде всего, для определения количества таких чисел, нам необходимо найти наибольшее пятизначное число, которое кратно 60. Это число будет равно 99960.

Теперь мы можем ограничить диапазон возможных чисел для нашей задачи. Минимальное пятизначное число будет 10000. Максимальное пятизначное число будет 99999.

Теперь давайте рассмотрим условие о сумме цифр. У нас есть два случая, которые мы должны рассмотреть:

1. Сумма цифр равна 1. Это будет случай наименьшего значения суммы цифр.
2. Сумма цифр равна 2. Это будет случай на следующее значение суммы цифр и так далее.

Мы можем выразить каждую сумму цифр в виде суммы неотрицательных целых чисел \(a + b + c + d + e\), где каждая переменная соответствует одной из цифр числа, а их сумма не превышает 9.

1. Сумма цифр равна 1:
Количество пятизначных чисел, сумма цифр которых равна 1, равно \(C(5,1) = 5\), где \(C(n, k)\) обозначает число сочетаний. Это значит, что мы выбираем одну цифру из пяти возможных, чтобы она была равна 1.

2. Сумма цифр равна 2:
Количество пятизначных чисел, сумма цифр которых равна 2, равно \(C(6,1) = 6\), так как мы можем выбрать какую-либо из шести цифр (0,1,1,0,0) в сочетании с одними "1" и одной "2".

3. Сумма цифр равна 3:
Количество пятизначных чисел, сумма цифр которых равна 3, равно \(C(7,1) = 7\).

Продолжая аналогичным образом, мы можем построить таблицу сумм цифр и количеством соответствующих пятизначных чисел:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Сумма цифр} & \text{Количество чисел} \\
\hline
1 & 5 \\
2 & 6 \\
3 & 7 \\
4 & 8 \\
5 & 9 \\
6 & 10 \\
7 & 11 \\
8 & 12 \\
9 & 13 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы можем вычислить общее количество пятизначных чисел, которые являются кратными 60 и имеют сумму цифр, не превышающую 9, сложив все значения в столбце "Количество чисел":

\(5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 81\)

Итак, ответ на задачу составляет 81 пятизначное число, которое является кратным 60 и имеет сумму цифр, не превышающую 9.