Как найти общее решение уравнения Y - 9y = e^2x?

Виктория

36

Хорошо, давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

1. Начнем с нахождения общего решения соответствующего однородного уравнения. Однородное уравнение получается путем обнуления правой части и имеет вид: Y" - 9y = 0.

2. Чтобы найти решение данного однородного уравнения, предположим, что решение имеет экспоненциальный вид y = e^(rx), где r - неизвестная константа.

3. Подставим это предположение в исходное уравнение: (e^(rx))" - 9(e^(rx)) = 0.

4. Произведем дифференцирование: r^2e^(rx) - 9e^(rx) = 0.

5. Вынесем общий множитель e^(rx) за скобки: (r^2 - 9)e^(rx) = 0.

6. Теперь полученное выражение должно быть равно нулю. Таким образом, у нас имеются два случая: (r^2 - 9) = 0 или e^(rx) = 0.

7. Первый случай: r^2 - 9 = 0. Решим это квадратное уравнение. Факторизуя его, получим (r - 3)(r + 3) = 0. Отсюда следует, что r = 3 или r = -3.

8. Второй случай: e^(rx) = 0. Здесь мы видим, что экспоненциальная функция никогда не равна нулю, поэтому этот случай не имеет решений.

9. Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид y_h = C1e^(3x) + C2e^(-3x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

10. Теперь перейдем к неоднородной части уравнения: e^(2x). Чтобы найти частное решение данной неоднородности, предположим, что решение имеет вид y_p = Ae^(2x), где A - неизвестная константа.

11. Подставим это предположение в исходное уравнение: (Ae^(2x))" - 9(Ae^(2x)) = e^(2x).

12. Произведем дифференцирование: 4Ae^(2x) - 9Ae^(2x) = e^(2x).

13. Выразим A, разделив обе части уравнения на e^(2x): -5A = 1.

14. Полученное уравнение позволяет нам найти A: A = -1/5.

15. Таким образом, частное решение y_p = -(1/5)e^(2x).

16. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид y = y_h + y_p = C1e^(3x) + C2e^(-3x) - (1/5)e^(2x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Это и есть окончательное решение данного уравнения с пошаговым объяснением. Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их!