Сколько раз цифра 2 встречается в числе, полученном при вычислении арифметического выражения 3^333 +3^22-9^111-81

Yuriy_5180

9

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить значение выражения \(3^{333} + 3^{22} - 9^{111} - 81\) и записать результат в троичной системе счисления. Затем мы подсчитаем, сколько раз цифра "2" встречается в этом числе.

Давайте начнем с вычисления значения выражения.

Начнем с первого слагаемого:

\(3^{333}\)

Для упрощения вычислений, заметим, что \(3^3 = 27\), а значит, \(3^{333}\) можно представить как \((3^3)^{111}\). Теперь, поскольку возводим \(3^3\) в степень 111, нам нужно умножить показатель степени на 3. Таким образом, \(3^{333} = (3^3)^{111} = 27^{111}\).

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

\(3^{22}\)

Поскольку \(3^2 = 9\), то \(3^{22}\) можно записать как \((3^2)^{11}\). Аналогично предыдущему шагу, мы умножаем показатель степени на 2. Получаем \(3^{22} = (3^2)^{11} = 9^{11}\).

Перейдем к третьему слагаемому:

\(9^{111}\)

По аналогии со слагаемыми выше, мы знаем, что \(9 = 3^2\), поэтому \(9^{111} = (3^2)^{111} = 3^{222}\).

Последнее слагаемое:

81

Теперь, когда мы разобрались с каждым слагаемым, объединим все выражение:

\(3^{333} + 3^{22} - 9^{111} - 81 = 27^{111} + 9^{11} - 3^{222} - 81\)

Теперь вычислим это выражение. При вычислении показателя степени большой числа, мы можем использовать деление на удобные числа, чтобы упростить вычисления. В данном случае, мы можем использовать деление на 3 и 9.

Давайте начнем с вычисления \(27^{111}\):

Поскольку \(27 = 3^3\), то \(27^{111} = (3^3)^{111} = 3^{3 \cdot 111}\). Поскольку 111 делится на 3 без остатка, мы получаем:

\(27^{111} = 3^{3 \cdot 111} = 3^{333}\)

Теперь рассмотрим \(9^{11}\):

Поскольку \(9 = 3^2\), то \(9^{11} = (3^2)^{11} = 3^{2 \cdot 11}\). Из этого следует:

\(9^{11} = 3^{2 \cdot 11} = 3^{22}\)

И, наконец, \(3^{222}\):

Так как \(3^{222}\) не делится на 9 без остатка, нам нужно вычислить его значение. К счастью, у нас уже есть это значение в выражении!

\(3^{222} = 3^{222}\)

Теперь, вернемся к исходному выражению и произведем все вычисления:

\(3^{333} + 3^{22} - 9^{111} - 81 = 3^{333} + 3^{22} - 3^{222} - 81\)

К счастью, у нас теперь есть одинаковые показатели степеней для всех слагаемых, и это значительно облегчает вычисления. Мы можем просуммировать слагаемые, а затем вычесть 81:

\(3^{333} + 3^{22} - 9^{111} - 81 = 3^{333} + 3^{22} - 3^{222} - 81 = 3^{333} + 3^{22} - 3^{222} - 3^4\)

Теперь вычислим каждое слагаемое:

\(3^{333} = 3^{22 \cdot 15 + 3}\)

Поскольку \(3^{22}\) мы уже вычислили ранее, мы можем его использовать:

\(3^{333} = 3^{22 \cdot 15 + 3} = (3^{22})^{15} \cdot 3^3\)

Таким образом:

\(3^{333} = (3^{22})^{15} \cdot 3^3 = 9^{15} \cdot 27 = 19683 \cdot 27 = 531441\)

Теперь рассмотрим \(3^{22}\):

\(3^{22} = 9^{11} = 9 \cdot 9^{10}\)

Мы уже ранее вычислили \(9^{11}\) как \(3^{22}\):

\(3^{22} = 9 \cdot 9^{10} = 9 \cdot 531441 = 4782969\)

И, наконец, \(3^{222}\):

Мы уже знаем значение этого слагаемого:

\(3^{222} = 531441\)

Теперь давайте объединим все слагаемые и вычтем 81:

\(531441 + 4782969 - 531441 - 81 = 4782969 - 81 = 4782888\)

Мы вычислили значение выражения \(3^{333} + 3^{22} - 9^{111} - 81\) и получили число 4782888.

Теперь давайте переведем это число в троичную систему счисления.

Для этого мы будем делить число 4782888 на 3 и записывать остатки от деления. Будем повторять этот процесс, пока не получим 0.

Начнем:

\[
\begin{align*}
4782888 \div 3 &= 1594296 \quad \text{остаток} \quad 0 \\
1594296 \div 3 &= 531432 \quad \text{остаток} \quad 0 \\
531432 \div 3 &= 177144 \quad \text{остаток} \quad 0 \\
177144 \div 3 &= 59048 \quad \text{остаток} \quad 0 \\
59048 \div 3 &= 19682 \quad \text{остаток} \quad 2 \\
19682 \div 3 &= 6560 \quad \text{остаток} \quad 2 \\
6560 \div 3 &= 2186 \quad \text{остаток} \quad 2 \\
2186 \div 3 &= 728 \quad \text{остаток} \quad 2 \\
728 \div 3 &= 242 \quad \text{остаток} \quad 2 \\
242 \div 3 &= 80 \quad \text{остаток} \quad 2 \\
80 \div 3 &= 26 \quad \text{остаток} \quad 2 \\
26 \div 3 &= 8 \quad \text{остаток} \quad 2 \\
8 \div 3 &= 2 \quad \text{остаток} \quad 2 \\
2 \div 3 &= 0 \quad \text{остаток} \quad 2 \\
\end{align*}
\]

Теперь записываем остатки в обратном порядке: 2220222222202.

Итак, число 4782888 в троичной системе счисления записывается как 2220222222202.

Теперь давайте подсчитаем, сколько раз цифра "2" встречается в этом числе.

В числе 2220222222202 цифра "2" встречается 10 раз.

Таким образом, ответ на задачу составляет 10.