Сколько раз одночлен a3b7 будет повторяться при возведении (a+b) в степень

Magnitnyy_Magistr

61

Чтобы решить эту задачу, нам нужно воспользоваться биномиальной теоремой, которая гласит:

\[(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k\]

Здесь \(\binom{n}{k}\) представляет биномиальный коэффициент и определяется формулой:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

В нашей задаче a3b7 повторяется только в случае, если в разложении \((a + b)^n\) будет слагаемое с общей степенью a равной 3 и общей степенью b равной 7.

Таким образом, мы должны найти коэффициент при слагаемом \(a^3b^7\), то есть значение \(\binom{n}{k}\), где \(n\) - степень \((a + b)\), а \(k\) - степень b в данном случае.

Применим биномиальную теорему к нашей задаче:

\((a + b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}a^1b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0b^n\)

Мы ищем коэффициент при слагаемом \(a^3b^7\), поэтому нам нужно найти значение \(\binom{n}{7}\).

Теперь мы знаем, что \(\binom{n}{7} = \frac{n!}{7!(n-7)!}\), где \(n\) - степень \((a + b)\), и для нашей задачи это будет "n".

Теперь давайте посмотрим, какое значение "n" у нас есть. В условии задачи не указана конкретная степень \((a + b)\), поэтому задача оставляет свободу выбора этого значения.

Если возьмем, например, n = 10, тогда:

\(\binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!}\)

\(\binom{10}{7} = \frac{10!}{7!3!}\)

Посчитаем факториалы:

\(10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3,628,800\)

\(7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5,040\)

\(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\)

Теперь подставим значения:

\(\binom{10}{7} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{3,628,800}{5,040 \cdot 6} = 120\)

Таким образом, в разложении \((a + b)^{10}\) слагаемое \(a^3b^7\) повторится 120 раз.

Мы использовали значение n = 10 в данном примере, но вы можете выбрать любое другое значение для степени \((a + b)\) и повторить все шаги, чтобы найти коэффициент при слагаемом \(a^3b^7\) для этой степени.