Сколько раз встречается цифра 2 в записи числа, полученного путем вычисления арифметического выражения 9^20 + 3^60

Рак

27

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо сначала вычислить арифметическое выражение \(9^{20} + 3^{60} - 5\) в троичной системе счисления, а затем посчитать количество цифр "2" в полученном числе.

1. Вычислим значение \(9^{20}\). Для этого воспользуемся свойством степени: \(9^{20} = (3^2)^{20} = 3^{40}\). Теперь заметим, что \(3\) в троичной системе счисления записывается как \(10_3\). Тогда \(3^{40}\) будет равно \(10_3^{40}\). Возведем \(10_3\) в 40-ую степень:

\[10_3^{40} = \underbrace{(10_3 \cdot 10_3 \cdot \ldots \cdot 10_3)}_{40 \text{ раз}}\]

Так как мы имеем дело с троичной системой счисления, то в каждом слагаемом произведения у нас будет 2 цифры: 1 и 0. В этом выражении цифра "2" не встречается, поэтому результат \((10_3 \cdot 10_3 \cdot \ldots \cdot 10_3)\) не содержит цифры "2".

2. Теперь вычислим значение \(3^{60}\) аналогичным способом: \(3^{60} = (3^2)^{30} = 10_3^{30}\). Степень \(10_3\) в 30-й степени будет иметь 31 слагаемое (30 + 1) в произведении, а значит, 31 цифру, состоящую из 1 и 0. В этом выражении также нет цифры "2".

3. Теперь найдем значение выражения \(9^{20} + 3^{60} - 5\) в троичной системе. Учитывая, что предыдущие два слагаемых не содержат цифры "2", мы можем сфокусироваться только на вычитаемом. Число 5 в троичной системе равно \(12_3\). Вычитание в троичной системе аналогично вычитанию в десятичной системе счисления, поэтому вычитаем \(12_3\) из числа, состоящего только из единиц (так как предыдущие два слагаемых равны нулю):

\[
\begin{align*}
& 1 \\
& 0\\
- & 1\\
\hline
& 0 \\
\end{align*}
\]

Как видите, результат вычитания равен 0.

4. Таким образом, полученное число равно 0.

5. Ответ на вопрос задачи: в полученном числе нет ни одной цифры "2".

Мы рассмотрели каждый шаг подробно и объяснили каждое действие. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обратиться.