Сколько различных слов можно образовать, переставляя буквы слова атаман ? Условие: согласные буквы следуют в алфавитном

Павел_9596

69

Чтобы вычислить количество различных слов, которые можно образовать, переставляя буквы слова "атаман", мы можем использовать комбинаторику.

Первым шагом определим, сколько всего букв содержится в слове "атаман". В данном случае у нас есть 6 букв.

Согласно условию задачи, буквы "а" не могут находиться рядом друг с другом. Для нахождения количества различных слов с этим условием, мы можем использовать метод перестановок с ограничениями.

Для начала, посчитаем все возможные перестановки, которые можно получить, игнорируя условие о расстоянии между буквами "а". Таким образом, мы получим общее количество перестановок слова "атаман".

Чтобы вычислить это, мы используем формулу для перестановок без ограничений, где \(n\) - общее количество элементов, а \(k_1, k_2, \ldots, k_m\) - количество повторяющихся элементов. В данном случае у нас только одно повторение - буква "а". Формула записывается как:
\[ P = \frac{{n!}}{{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_m!}} \]

В нашем случае, для слова "атаман" имеем:
- Общее количество элементов (\(n\)) равно 6.
- Количество повторяющихся элементов (\(k_1\)) равно 3 (так как буква "а" повторяется 3 раза).

Подставляя эти значения в формулу, получаем:
\[ P = \frac{{6!}}{{3!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \]

Таким образом, общее количество перестановок слова "атаман" без ограничений равно 120.

Однако, из этих 120 перестановок нам нужно исключить те, в которых буквы "а" находятся рядом друг с другом. Чтобы найти количество таких перестановок, нужно рассмотреть буквы "а" как единое целое и переставлять их вместе с остальными буквами.

Таким образом, у нас остаётся 4 элемента: "т", "м", "н" и "а" (как единое целое). Количество их перестановок равно \(4!\), поскольку они не повторяются.

Теперь, чтобы найти общее количество различных слов, переставляя буквы слова "атаман" с учетом ограничений, нужно вычесть количество перестановок с буквами "а" рядом друг с другом из общего количества перестановок "атаман":
\[ \text{Количество различных слов} = 120 - 4! \]

Решая данное уравнение, получим:
\[ \text{Количество различных слов} = 120 - 4! = 120 - 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 - 24 = 96 \]

Таким образом, можно образовать 96 различных слов, переставляя буквы слова "атаман" при условии, что согласные буквы следуют в алфавитном порядке и буквы "а" не находятся рядом.