Как найти частные решения следующих уравнений? 1) Уравнение: d^2y /dx^2 =4 , Известно: y=0 при x=0, y=1 при

Киска_534

4

Первым шагом необходимо проинтегрировать уравнение, чтобы получить уравнение первой производной.

1) Уравнение: $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=4$

Интегрируя дважды, получаем:

$\int \frac{d^{2}y}{d{x}^2}dx=\int 4dx$

$\frac{dy}{dx}=4x+C_1$

Далее, проинтегрируем уравнение первой производной:

$\int \frac{dy}{dx}dx=\int (4x+C_1)dx$

$y=2x^2+C_{1}x+C_2$

Теперь необходимо использовать начальные условия y=0 при x=0 и y=1 при x=1, чтобы найти константы C1 и C2.

Подставим y=0 и x=0 в уравнение:

$0=0+C_1\cdot 0+C_2$

Отсюда получаем: C2 = 0.

Подставим y=1 и x=1 в уравнение:

$1=2\cdot 1^2+C_1\cdot 1+0$

Отсюда получаем: C1 = -1.

Итак, частное решение данного уравнения будет выглядеть:

$y=2x^2-x$

2) Уравнение: $\frac{d^{2}s}{d{t}^2}=18t+2$

Интегрируя дважды, получаем:

$\int \frac{d^{2}s}{d{t}^2}dt=\int (18t+2)dt$

$\frac{ds}{dt}=9t^2+2t+C_1$

Проинтегрируем уравнение первой производной:

$\int \frac{ds}{dt}dt=\int (9t^2+2t+C_1)dt$

$s=3t^3+t^2+C_{1}t+C_2$

Теперь используем начальные условия S=4 и ds/dt = 5 при t=0.

Подставим S=4 и t=0 в уравнение:

$4=0^3+0^2+C_1\cdot 0+C_2$

Отсюда получаем: C2 = 4.

Подставим ds/dt = 5 и t=0 в уравнение:

$5=3\cdot 0^3+0^2+C_1\cdot 0+4$

Отсюда получаем: C1 = 1.

Итак, частное решение данного уравнения будет выглядеть:

$s=3t^3+t^2+t+4$