Как найти частные решения следующих уравнений? 1) Уравнение: d^2y /dx^2 =4 , Известно: y=0 при x=0, y=1 при

Киска_534

4

Первым шагом необходимо проинтегрировать уравнение, чтобы получить уравнение первой производной.

1) Уравнение: \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = 4\)

Интегрируя дважды, получаем:

\(\int \frac{{d^2y}}{{dx^2}} dx = \int 4 dx\)

\(\frac{{dy}}{{dx}} = 4x + C_1\)

Далее, проинтегрируем уравнение первой производной:

\(\int \frac{{dy}}{{dx}} dx = \int (4x + C_1) dx\)

\(y = 2x^2 + C_1x + C_2\)

Теперь необходимо использовать начальные условия y=0 при x=0 и y=1 при x=1, чтобы найти константы C1 и C2.

Подставим y=0 и x=0 в уравнение:

\(0 = 0 + C_1 \cdot 0 + C_2\)

Отсюда получаем: C2 = 0.

Подставим y=1 и x=1 в уравнение:

\(1 = 2 \cdot 1^2 + C_1 \cdot 1 + 0\)

Отсюда получаем: C1 = -1.

Итак, частное решение данного уравнения будет выглядеть:

\(y = 2x^2 - x\)

2) Уравнение: \(\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = 18t + 2\)

Интегрируя дважды, получаем:

\(\int \frac{{d^2s}}{{dt^2}} dt = \int (18t + 2) dt\)

\(\frac{{ds}}{{dt}} = 9t^2 + 2t + C_1\)

Проинтегрируем уравнение первой производной:

\(\int \frac{{ds}}{{dt}} dt = \int (9t^2 + 2t + C_1) dt\)

\(s = 3t^3 + t^2 + C_1t + C_2\)

Теперь используем начальные условия S=4 и ds/dt = 5 при t=0.

Подставим S=4 и t=0 в уравнение:

\(4 = 0^3 + 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2\)

Отсюда получаем: C2 = 4.

Подставим ds/dt = 5 и t=0 в уравнение:

\(5 = 3 \cdot 0^3 + 0^2 + C_1 \cdot 0 + 4\)

Отсюда получаем: C1 = 1.

Итак, частное решение данного уравнения будет выглядеть:

\(s = 3t^3 + t^2 + t + 4\)