Сколько различных способов Алексей и Денис могут финишировать рядом друг с другом в кроссе с участием 18 учеников?

Снежинка

39

Для решения обеих задач воспользуемся комбинаторикой и принципом упорядоченных выборок. Предположим, что ученики участвуют в кроссе и финишируют в строгом порядке за друг другом, а также что участников столько, сколько указано в задаче (в данном случае, 18).

1. Задача о способах финиша Алексея и Дениса рядом друг с другом:

В целом, у нас есть две возможности положения Алексея и Дениса во всем ряду (они могут занимать позиции "АД" или "ДА").

Следовательно, у нас есть 2 варианта размещения этих двух участников.

Теперь остается выбрать, в каком порядке займут остальные 16 участников. Для этого мы можем расставить их на оставшиеся 16 позиций.

В итоге, общее количество способов, которыми Алексей и Денис могут финишировать друг за другом, будет равно:

2 * 16! (2 учитывает два варианта расположения Алексея и Дениса, а 16! обозначает число перестановок оставшихся 16 участников).

2. Задача о способах финиша Сергея не первым и не последним:

Для того чтобы Сергей не финишировал первым или последним из 18 участников, есть два варианта: он может финишировать на первом месте, или он может финишировать на последнем месте.

Если он финиширует на первом месте, то оставшиеся 17 участников могут расположиться на оставшихся 17 позициях.

Аналогично, если Сергей финиширует на последнем месте, оставшиеся участники также могут занять свои позиции на оставшихся 17 местах.

Из этого следует, что общее количество способов, которыми Сергей может финишировать не первым и не последним, равно:

2 * 17!

В обоих задачах числа, обозначенные как (число), нужно заменить на конкретные значения, а именно:

1. Для первой задачи: (2 * 16!)
2. Для второй задачи: (2 * 17!)