Сколько различных треугольников можно образовать, используя 17 точек на одной прямой и 5 точек на параллельной прямой?

Baron

16

Чтобы решить данную задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов и постараемся рассмотреть каждый шаг подробно.

Шаг 1: Подсчет треугольников, образованных только 17 точками на одной прямой.
Если у нас есть 17 точек на одной прямой, то для образования треугольника нам необходимо выбрать 3 точки из этого множества. Для нахождения числа комбинаций, которые можно получить из 17 точек, мы можем использовать формулу сочетания. Формула сочетания записывается следующим образом: \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\), где \(C(n, k)\) - это число сочетаний, \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы хотим выбрать. В нашем случае, мы хотим найти число сочетаний из 17 точек, выбирая 3 точки для образования треугольника. Подставим значения в формулу:
\(C(17, 3) = \frac{{17!}}{{3! \cdot (17 - 3)!}} = \frac{{17!}}{{3! \cdot 14!}}\)

Шаг 2: Подсчет треугольников, образованных только 5 точками на параллельной прямой.
Аналогично, если у нас есть 5 точек на параллельной прямой, для образования треугольника нам необходимо выбрать 3 точки из этого множества. Используя формулу сочетания, мы можем найти число комбинаций:
\(C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3! \cdot (5 - 3)!}} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}}\)

Шаг 3: Подсчет треугольников, образованных точками на обеих прямых.
Для образования треугольника нам необходимо выбрать 2 точки из 17 точек на одной прямой и 1 точку из 5 точек на параллельной прямой. Используя формулу сочетания, мы можем найти число комбинаций:
\(C(17, 2) \cdot C(5, 1) = \frac{{17!}}{{2! \cdot (17 - 2)!}} \cdot \frac{{5!}}{{1! \cdot (5 - 1)!}}\)

Шаг 4: Суммирование всех полученных комбинаций.
Чтобы найти общее количество треугольников, которые можно образовать, мы должны сложить результаты, полученные на шаге 1, шаге 2 и шаге 3:
\(C(17, 3) + C(5, 3) + C(17, 2) \cdot C(5, 1)\)

Теперь найдем численные значения каждого шага и сложим их:

\(C(17, 3) = \frac{{17!}}{{3! \cdot 14!}} = \frac{{17 \cdot 16 \cdot 15}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 680\)

\(C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10\)

\(C(17, 2) \cdot C(5, 1) = \frac{{17!}}{{2! \cdot 15!}} \cdot \frac{{5!}}{{1! \cdot 4!}} = 17 \cdot 5 = 85\)

Итак, суммируем полученные значения:

\(680 + 10 + 85 = 775\)

Ответ: Используя 17 точек на одной прямой и 5 точек на параллельной прямой, можно образовать 775 различных треугольников.