Сколько ребер нужно добавить в граф без циклов из 20 вершин и 10 ребер, чтобы он стал связным?

Aleksandrovna

6

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо понять, какие условия необходимы для графа, чтобы стать связным. Связный граф - это граф, в котором между любыми двумя вершинами существует путь.

Итак, у нас уже есть граф с 20 вершинами и 10 ребрами. Чтобы был связный граф, нужно добавить ребра таким образом, чтобы между любыми двумя вершинами по-прежнему существовал путь.

Для начала посмотрим на самый простой связный граф, состоящий из двух вершин и одного ребра. Рассмотрим его:

\[
\begin{matrix}
1 & -- & 2
\end{matrix}
\]

В этом графе есть две вершины и одно ребро, и он является связным. Теперь у нас есть базовый пример.

Мы можем добавить еще ребра в наш исходный граф так, чтобы он оставался связным, используя тот же принцип. Допустим, мы хотим добавить еще одну вершину и два ребра. Мы можем это сделать следующим образом:

\[
\begin{matrix}
1 & -- & 2 \\
| & & | \\
3 & -- & 4
\end{matrix}
\]

Теперь у нас есть граф с 4 вершинами и 3 ребрами, и он все еще связный.

Мы можем продолжать этот процесс, добавляя еще вершины и ребра до тех пор, пока граф не станет связным.

Каждый раз, когда мы добавляем вершину, мы должны добавить, как минимум, одно ребро, чтобы соединить ее с остальными вершинами. В нашем случае нам нужно добавить 16 вершин (чтобы всего было 20) и, как минимум, 15 ребер (потому что каждая новая вершина должна быть соединена с предыдущими вершинами). Таким образом, нам необходимо добавить еще 15 ребер к нашим исходным 10 ребрам.

Итак, чтобы граф с 20 вершинами и 10 ребрами стал связным, нам нужно добавить 15 новых ребер.

Надеюсь, это пошаговое решение поможет вам понять, как решить данную задачу. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.